何为完全图、稀疏图、稠密图。完全图：完全图是一种简单的无向图，其中每对不同的顶点之间都恰好有一条边。对于有n个顶点的完全图，它包含n(n-1)/2条边。在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条边，包含n(n-1)条边，则该图被称为有向完全图。稀疏图：稀疏图是边数相

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4017题意解读：食物链的顶端不会被其他生物吃，在图结构中设定为入度是0，食物链的底端不会吃其他生物，在图结构式设定为出度是0，此题就是要计算所有入度是0的点到所有出度是0的点一共有多条路径。解题思路：首先，来模拟一样样例，样例数据形成的

欧拉图（欧拉通路&欧拉回路）定义通过图中所有边恰好一次的通路称为欧拉通路。通过图中所有边恰好一次的回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的无向图或有向图称为欧拉图。具有欧拉通路但不具有欧拉回路的无向图或有向图称为半欧拉图。有向图也可以有类似的定义。非形式化地讲，欧拉

无向图三元环计数：定义一个有向图\(G'\)：把\(G\)中每条边改成从度数小的点指向度数大的点的有向边。性质：\(G'\)中每个点的出度\(\le2\sqrtm\)。证明：若\(u\)的出度\(>2\sqrtm\)，则显然\(u\)在原图中的度数\(>2\sqrtm\)。所以\(u\)指向的至少\(2\sqrtm+1\)个

目录定义性质一、兰道定理（竞赛图的判定）比分序列：将每个点的出度从小到大排序的序列。定理内容：定理证明拓展二、竞赛图缩点后拓扑序成链状，拓扑序小的点向所有拓扑序比它大的点连边。（1）与SCC，拓扑序相关推论：1.根据成链状容易发现当不存在位置i满足以下条件，图为强连通图。2.在同一个SCC

免责声明：本文定义并不严谨，笔者是从“浅显易懂”的角度出发写本文。若您需要严谨定义请移步至其他学术文章。基本定义欧拉路径，即能不重不漏经过图上所有边的路径。也可以说“一笔画问题”。特殊地，如果这条路径的起点和终点一致，则这条路径叫做“欧拉回路”。其他的定义：欧拉图

因为我们有\(S=2^k\)，所以我们先考虑\(k=1\)即\(S=2\)的时候应该怎么做。发现如果我们对于每一个核心从\(t_1\)向\(t_2\)连一条无向边，如果我们把「不交换\(t_1,t_2\)」看成将这条边定向为\(t_1\tot_2\)，否则如果「交换\(t_1,t_2\)」看成将这条边定向为\(t_2\tot_1

题意不多赘述。注：全文所用的“点\(u\)的出度”均指的是点\(u\)在原图上的出度。首先我们考虑\(r_{i}=0\)的情况怎么写，这时我们会发现要么答案是\(0\)要么无解。当当前点\(u\)无论怎么走都走不到一个环上，即无论怎么走最终都会走到一个出度为\(0\)的点上的话，那么显

更好的访问[[2023年11月10日总结]]这一天的题目。[USACO22OPEN]AlchemyBlink。二分答案。倒着建图，是一个dag。验证的方法感觉类似[NOIP2020]排水系统。但是要注意中间判断一下往下传的多余量有没有超过总金属数。不然容易指数级增长爆掉。这道题写的时候降智了，还搞了一

bzoj#2863设\(dp_i\)表示\(i\)个点的DAG个数。发现一个DAG删去出度为\(0\)的点后显然还是一个DAG，因此不妨枚举出度为\(0\)的点的个数：\(dp_i=\sum\limits_{j=1}^idp_{i-j}\binom{i}{j}2^{j(i-j)}\)这么干显然不太对，因为我们不能保证每次删除时都能把图中的所

首先，\(max(p,q)\)是下界，因为连一条边最多只能减少一个零入度点和一个零出度点，而最终的图不可能有哪怕一个零出度点或者零入度点（最后的图刚好就是一个点）根据这个下界，我们也很容易可以构造出来一种方法，让零出度点和另一个SCC的零入度点相连即可，就像下面一样（红色边是添加的边）

对于无向图：欧拉路的起点和终点的度数为奇数，其余点的度数为偶数。若起点和终点的度数也都为偶数，则为欧拉回路。对于有向图：欧拉路的起点出度比入度大\(1\),终点的入度比出度大\(1\),其余点出度和入度相等。若起点和终点入度、出度相等，则为欧拉回路。dfs求欧拉路每次递归

目录luoguP4233射命丸文的笔记CF1498ETwoHousesluoguP4233射命丸文的笔记link如果一个竞赛图含有哈密顿回路，则称这张竞赛图为值得记录的。从所有含有n个顶点（顶点互不相同）的，值得记录的竞赛图中等概率随机选取一个。求选取的竞赛图中哈密顿回路数量的期望值。性质1：

题意给定一张有向无环图，从中选出一棵有根树（节点编号为\(0\simn\)，树根为\(n\)），使得除根节点外所有节点的出度的最大值最小。除根节点外，依次输出每个节点的父亲，并要求字典序最小。（\(1\len\le50\)）*注意：由于个人习惯，这里将节点编号重编为\(1\simn+1\)，根节点即为\(n+1\)

最小费用循环流考虑如果费用全部是正的，那么最小费用一定是0.可以强制把所有负边流满，留下反悔边。如果一个点出度大于入度，那么这个点向虚拟汇点连出度减入度，否则从虚拟源点向这个点连入度减出度。无源汇上下界可行流先强制把下界流满，统计每个点的流出和流入。如果流出比流入多

链接C.SnukeandSpells容易发现合法序列排序后一定是若干段值域连续的部分组成：可以发现最小次数就是重叠/空出的部分大小。每次修改只会对\(O(1)\)个点\(±1\)，直接维护即可。#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<vector>#defineN200010

本题让求有多少点 是图中所有点都可到达改点的定理：在一个有向图中，如果有一个节点的出度为0，并且仅有一个这样的点，则该图中所有的点都可到达该点先求出图的强连通分量，然后将每个强连通分量化为一个层次，求是否存在一个强连通分量，该分量的出度为一，并且仅有一个这样的分量，则该连通分量

空降锣鼓1题目分析首先，要知道这道题是Topo拓扑排序。不妨先从拓扑排序定义下手，分析题目的性质。经分析得：食物链中的生物——节点生物之间的关系——有向边为了方便描述，我们将不会捕食其他生物的生产者叫做最佳生产者不会被其他生物捕食的消费者叫做最佳消费

今天真的摆了一天。上午jimmy让做一个S组模拟，当学考做的

\(P4017\)最大食物链计数最大食物链数量；最大指的是需要从一个入度为零的点开始到一个出度为零的点,这是一个完整的食物链，问我们给出的食物网中，食物链的数量①本题中，不仅需要记录一下入度,还要记录一下出度，这是因为我们要计算食物链的数量，食物链的最后一个结点，就是出度为

1857D.StrongVerticesDescription:给定两个长度均为\(n\)的数组\(a\)和\(b\)（编号\(1\)~\(n\)），如果\(a_u-a_v\geqb_u-b_v\)\((u\neqv)\)，那么从\(u\)到\(v\)建立一条有向边。"Strong"定义为：一个点\(V\)可以经过有向图中合法的通路到达其他所有的点。请求解出"

大力相应teacher要求。正难则反，考虑求不合法的三元组的数量。对于一个不合法的三元组，可以发现条件等价于三元组中有一个点出度为2。记\(m\)次操作后每个点出度为\(d_i\)，答案就是\(\dbinom{n}{3}-\sum\limits_{i=1}^n\dbinom{d_i}{2}\)。那么怎么统计？回忆\(\mathcal{O}(

一、无向图定向问题描述：给定一张\(n\)个点，\(m\)条边的的无向图，求给每条边定向后是DAG的方案数，对\(998244353\)取模。数据范围：\(1\len\le20\)。设\(f_S\)表示\(S\)点集中的点在DAG上时的方案数，枚举出度为\(0\)的点集\(T\)，\(g(S)\)表示\(S\)能否成为出度

ProblemDescription首先明确，最大食物链指生产者到顶级消费者（即最高营养级），而不是最长的食物链这样，我们就可以将题意转化为：在一张图中，求入度为0的点到出度为0的点路径数量这不妥妥的拓扑排序嘛（这题竟然在dp训练题单里，想了好久的dp）Solution虽说是拓扑排序，但并不完全是。我们

ProblemDescription通俗一点就是在一张图上求入度为0的点到出度为0的点路径的个数。Solution简要题意后发现可以拓扑排序？这里主要介绍记忆化搜索。记忆化搜索是指记住当前节点的状态，待下次搜到这里直接调用即可，无需继续搜索。显然由记忆化搜索延伸到dp，但如果状态设计很复杂