1 基本定义
将 \(n\) 阶方阵 \(M\) 分解出如下式的 非零n维向量 \(v\)作为 特征向量 和 \(\lambda\) 作为 特征向量;
$\large M v=\lambda v,\ v \neq 0 $
上式不仅可以分解出,甚至还可以分解出多个 特征向量 与 特征值;
实例: 对物体施加作用力F产生运动, 运动可以分解到 3D空间的 \((x, y, z)\) 三个维度上,
的将 \(n\) 阶方阵 \(M\) 分解出如下式的 非零n维向量 \(v\)作为 特征向量 和 \(\lambda\) 作为 特征向量;
换将 \(n\) 阶方阵 \(M\) 看作 矩阵函数 \(f\), 解读以上矩阵乘法表达式:
\(\large \begin{array}{ccl} f(v) &=& M v,\ v \neq 0 \\ f(v) &=& \lambda v \end{array}\)
即对 非零n维特征向量 \(v\) 作以下两种变换的结果一致:
- 左乘 “\(n\) 阶方阵 \(M\)”,
- 数乘 “实数\(\lambda\)” (初等线性变换),
则称:
- \(\lambda\) 是 \(n\) 阶方阵 \(M\) 的一个特征值，
- \(v\) 为 \(M\) 的对应于特征值 \(\lambda\) 的特征向量。
注意观察:
对 \(x\) 这个非零n维特征向量,
先有一个直观的印象：可以把矩阵看做是运动，特征值就是运动的速度，特征向量就是运动的方向。
注意，由于矩阵是数学概念，非常抽象，所以上面所谓的运动、运动的速度、运动的方向都是广义的，在现实不同的应用中有不同的指代。
可类比表达为 将 特征值比作运动的速度，特征向量就是运动的方向，
而其它方向上的运动就可由 特征向量方向 的运动合成。所以最大的特征值对应的特征向量指明了运动速度的最大方向。
特征向量正交，这样变换后才能保证变换最大的方向在基方向。如果特征向量不正交就有可能不是变化最大的方向。
所以我们在实际应用中，都要去找正交基。但是特征向量很可能不是正交的，那么就需要奇异值分解。