给出 \(2n\) 个点，求在前 \(n\) 个和后 \(n\) 个点中各选一个点的距离的最小值是多少。
分治
出处：《算法竞赛进阶指南》
题解：
先考虑只有一种点，怎么求两两距离的最小值。
分治，整体的最小距离 \(ans=\min(\)左半边的最小值，右半边的最小值，左右之间的最小值\().\)
只需考虑左右之间的最小值即可。
令 \(res=\min(\)左半边的最小值，右半边的最小值\()\)。可递归。
考虑点 \(A\)。以 \(A\) 为圆心，\(res\) 为半径画圆，显然超出这个圆的点与 \(A\) 都不可能更新最小距离。这是显然的。
设定中间线：\(point[mid]\) 的 \(y\) 坐标竖下来。（同时也是分开左右部分的分界线）
考虑最最极端的情况：点 \(A\) 就在这条分界线上。（这只能说明 \(y\) 坐标 \(=p[mid]\)）
很强的性质：以 \(A\) 为圆心，\(res\) 为半径画圆，圆在中间线另一边的部分中，至多有 \(6\) 个另一边的结点。
证明还是看这里吧，限于篇幅。
那我们每次求左右之间的最小距离，只用 \(O(6n)\)，可接受。
初始所有位置为 \(0\)。每次操作会将所有形如 \(S_i+kD_i\;(k\in \mathbb{Z})\) 且 \(\le E_i\) 的位置加一。\(n\) 次操作后如果一个位置上是奇数，称为“有破绽的”。求出这个破绽的位置和这个位置上是多少，或者判断没有破绽。题目保证至多只有一个破绽。
二分 + 前缀和
注意 “最多只有一个位置有破绽”，二分：如果左边有奇数个防具，说明破绽在左；否则必在右。
而查找一个区间的防具个数，可以用前缀和，但是范围太大，开不了 \(2^{31}-1\) 个。所以直接每次现算：如果要求 \(1\sim x\)，枚举所有起点在 \(x\) 之前的防具组，数学方法算出在 \(x\) 之前这组防具有多少个。\(O(n)\).
总复杂度 \(O(n\log n).\)
每个方格有一个整数，要求选一个边长最小的正方形，其中的和至少为 \(C\)。求最小边长。
预处理前缀和 \(O(n^2)\)
二分边长 \(O(\log n).\)
有数列 \(1,2,\dots,+\infty\) 和 \(n\) 次操作，每次操作交换两个数。
问操作后有多少个逆序对。
把连续的一段（段内没有交换过）看作一个数。
记得离散化。
然后就是求逆序对。
求出 \(s[l\sim r]\) 的最小循环节长度。
先哈希出 \(s\) 的所有前缀。
对于询问 \([l,r]\)，最小循环节长度 $=(r-l+1);\div $ 最多段数。
而段数 \(x\) 一定为 \(gcd(r-l+1,cnt[0\sim 25][r]-cnt[0\sim 25][l-1])=num\) 的因数，其中 \(cnt[ch][i]\) 表示 \(s\) 的前 \(i\) 个字符中 \(ch\) 的个数。
然后就可以枚举 \(x\) 的因数 \(O(\sqrt x)\)。每次判断 \((r-l+1)/x\) 和 \((r-l+1)/(num/x)\)。
判断是否前 \(w\) 个字符是否为循环节，就判断 \(s[l+w\sim r]\) 和 \(s[l\sim r-w]\) 是否相等即可。相关证明可以去 KMP（字符串扫描型算法）那里看。
莫队大水题。
窗体面积题解
上浮法，巧妙。
标签：破绽,题目,前缀,最小,最小值,其他,合集,sim,半边 From： https://www.cnblogs.com/FLY-lai/p/18016090