非常好 dp，使我线段树旋转。
分析
首先由于两点之间直线线段最短，我们肯定是希望从头一直送到尾，最后回家。但是有了 \(k\) 的限制，就麻烦了。
考虑一个 dp。我们设 \(dp[i]\) 表示刚送完第 \(i\) 个孩子时所要跑的最短距离。转移的时候我们枚举上一次回家是在送完哪一个孩子之后。设 \(d[i]\) 表示第 \(i\) 个孩子的位置到第 \(i - 1\) 个孩子的位置的距离，\(d_0[i]\) 表示从家到第 \(i\) 个孩子的位置的距离，\(S\) 为 \(d\) 的前缀和，则我们有
\(dp[i] = \min\limits_{i - k \le j < i} \{ dp[j] + d_0[j] + d_0[j + 1] - d[j + 1] + S[i] - S[j]\}\)
即在第 \(j\) 个孩子送完之后回家，后面一直送到 \(i\)。发现这个 dp 可以使用线段树进行优化，具体来说就是到了 \(i\)，先把他前面所有 dp 值加上 \(d[i]\)，然后区间查最小值作为 \(dp[i]\)，再把 \(dp[i] + d_0[i] + d_0[i + 1] - d[i + 1]\) 放到线段树里。这样就搞完了。
听说这个题也可以单调队列搞，反正我现在还没会。
代码
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <math.h>
#define int long long
using namespace std;
int x[200005], y[200005];
double dist(int x1, int y1, int x2, int y2) {
return sqrt((x2 - x1) * (x2 - x1) + (y2 - y1) * (y2 - y1));
}
double d[200005];
double d0[200005];
double dp[200005];
struct Segment_Tree {
double mn[800005], tg[800005];
void tag(int o, double x) { mn[o] += x, tg[o] += x; }
void pushdown(int o) {
tag(o << 1, tg[o]);
tag(o << 1 | 1, tg[o]);
tg[o] = 0;
}
void Add(int o, int l, int r, int L, int R, double x) {
if (L <= l && r <= R) {
tag(o, x);
return;
}
pushdown(o);
int mid = (l + r) >> 1;
if (L <= mid)
Add(o << 1, l, mid, L, R, x);
if (R > mid)
Add(o << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, x);
mn[o] = min(mn[o << 1], mn[o << 1 | 1]);
}
void Change(int o, int l, int r, int x, double y) {
if (l == r) {
mn[o] = y;
tg[o] = 0;
return;
}
pushdown(o);
int mid = (l + r) >> 1;
if (x <= mid)
Change(o << 1, l, mid, x, y);
else
Change(o << 1 | 1, mid + 1, r, x, y);
mn[o] = min(mn[o << 1], mn[o << 1 | 1]);
}
double Query(int o, int l, int r, int L, int R) {
if (L <= l && r <= R)
return mn[o];
int mid = (l + r) >> 1;
pushdown(o);
if (R <= mid)
return Query(o << 1, l, mid, L, R);
else if (L > mid)
return Query(o << 1 | 1, mid + 1, r, L, R);
else
return min(Query(o << 1, l, mid, L, R), Query(o << 1 | 1, mid + 1, r, L, R));
}
} seg;
signed main() {
int n, k;
cin >> n >> k;
for (int i = 1; i <= n + 1; i++) {
cin >> x[i] >> y[i];
d[i] = dist(x[i - 1], y[i - 1], x[i], y[i]);
d0[i] = dist(x[1], y[1], x[i], y[i]);
}
seg.Change(1, 1, n + 1, 1, 0);
for (int i = 2; i <= n + 1; i++) {
seg.Add(1, 1, n + 1, 1, i - 1, d[i]);
dp[i] = seg.Query(1, 1, n + 1, max(1ll, i - k), i - 1);
seg.Change(1, 1, n + 1, i, dp[i] + d0[i] + d0[i + 1] - d[i + 1]);
}
cout << fixed << setprecision(10) << dp[n + 1] + d0[n + 1];
return 0;
}