矩阵

一.矩阵的概念
由 \(n×m\) 个数排成如下 \(n\) 行 \(m\) 列的一个表格 \(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix}\) 称为是一个 \(m×n\) 矩阵，当 \(m=n\) 时，矩阵 \(A\) 称为 \(n\) 阶矩阵或叫 \(n\) 阶方阵

如果一个矩阵中的所有元素都是 \(0\) ，即 \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{bmatrix}\) ，则称这个矩阵是零矩阵，可简记为 \(O\)

同型矩阵：两个矩阵 \(A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}_{m×n}\) , \(B=\begin{bmatrix}b_{ij}\end{bmatrix}_{s×t}\) ，如果 \(m=s,n=t\) ，则称 \(A\) 和 \(B\) 是同型矩阵

两个同型矩阵 \(A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}_{m×n}\) , \(B=\begin{bmatrix}b_{ij}\end{bmatrix}_{m×n}\) ，如果对应元素都相等，则称矩阵 \(A\) 和 \(B\) 相等，记作 \(A=B\)

\(n\) 阶方阵 \(A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}_{n×n}\) 的元素所构成的行列式称为 \(n\) 阶矩阵 \(A\) 的行列式，记作 \(\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\) 或 \(detA\)

单位阵：主对角线元素全是 \(1\) ，其余元素全为 \(0\) 的矩阵叫作单位阵，记作 \(E\)

二.矩阵的运算

矩阵的加减：两个矩阵是同型矩阵时，可以相加减，即： \(C=A±B=(a_{ij})_{m×n}±(b_{ij})_{m×n}=(c_{ij})_{m×n}\)

矩阵的数乘：设 \(k\) 是一个数， \(A\) 是一个 \(m×n\) 的矩阵，数 \(k\) 和 \(A\) 的乘积称为数乘矩阵，即 \(kA=Ak=k\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots&&\vdots\\a_{i1}&\cdots&a_{ij}&\cdots&a_{in}\\\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ka_{11}&\cdots&ka_{1j}&\cdots&ka_{1n}\\\vdots&&\vdots&&\vdots\\ka_{i1}&\cdots&ka_{ij}&\cdots&ka_{in}\\\vdots&&\vdots\\ ka_{n1}&\cdots&ka_{nj}&\cdots&ka_{nn}\end{bmatrix}\) ，即 \(A\) 的每个元素都乘以 \(k\)

注意：矩阵提公因子，矩阵所有元素均有公因子，公因子外提一次；行列式提公因子，行列式一行提一次，行列式所有元素均有公因子，公因子外提 \(m\) 次

加法运算和数乘运算统称为矩阵的线性运算，满足下列运算规律：
①交换律：\(A+B=B+A\)
②结合律：\((A+B)+C=A+(B+C)\)
③分配律：\(k(A+B)=kA+kB,(k+l)A=kA+lA\)
④数和矩阵相乘的结合律：\(k(lA)=(kl)A=l(kA)\)
其中， \(A,B,C\) 是同型矩阵， \(k,l\) 是任意常数

矩阵乘法：设 \(A\) 是 \(m×s\) 的矩阵， \(A\) 是 \(s×n\) 的矩阵（矩阵\(A\)的列数必须与矩阵\(B\) 的行数相等），则 \(A\) 和 \(B\) 可以相乘，乘积 \(AB\) 是 \(m×n\) 的矩阵，记 \(C=AB=(c_{ij})_{m×n}\) ，\(C\) 的第 \(i\) 行第 \(j\) 列元素 \(c_{ij}\) 是 \(A\) 的第 \(i\) 行的 \(s\) 个元素与 \(B\) 的第 \(j\) 列的 \(s\) 个元素两两乘积之和，即：
\(c_{ij}=\sum_{k=1}^s{a_{ik}b_{kj}}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{k2}+\cdots+a_{is}b_{sj} (i=1,2,\cdots,n)\)

矩阵乘法满足下列运算规律：
①结合律：\((A_{m×s}B_{s×r})C_{r×n}=A_{m×s}(B_{s×r}C_{r×n})\)
②分配律：\(A_{m×s}(B_{s×n}+C_{s ×n})=A_{m×s}B_{s×n}+A_{m×s}C_{s×n},(A_{m×s}+B_{m×s})C_{s×n}=A_{m×s}C_{s×n}+B_{m×s}C_{s×n}\)
③数乘与矩阵乘法的结合律：\((kA_{m×s})B_{s×n}=A_{m×s}(kB_{s×n})=k(A_{m×s}B_{s×n})\)

注意：
①\(AB\ne BA\) ，\(AB\) 有意义， \(BA\) 不一定有意义，若 \(AB=BA\) ，则称 \(A\) 和 \(B\) 是可交换的
②若 \(AB=0\) ，无法推出 \(A=0\) 或 \(B=0\)
③若 \(AB=AC,A\ne 0\) 无法推出 \(B=C\)

还有一些东西要记住：
①任意矩阵和零矩阵相乘都是零矩阵，但结果矩阵的行数或列数可能改变
②任意矩阵和单位阵相乘都是原矩阵

方阵的幂: \(A\) 是一个 \(n\) 阶方阵， \(A^m\) 称为 \(A\) 的 \(m\) 次幂

\(A^{k_1}×A^{k_2}=A^{k_1+k_2}\)，\((A^{k_1})^{k_2}=A^{k_1k_2}\)，\(A^0=E\)

注意：一般 \((AB)^k\ne A^kB^k\), \((A±B)^2\ne A^2±2AB+B^2\)
特别地： \((A±E)^2\ne A^2±2AE+E^2\)

转置矩阵：将 \(m×n\) 的矩阵 \(A=(a_{ij})_{m×n}\) 的行与列互换得到的 \(n×m\) 矩阵，称为矩阵 \(A\) 的转置矩阵，记为 \(A^T\) ，即 \(A^T=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix}\)

转置的运算规律： \((A^T)^T=A，(kA)^T=kA^T,(A+B)^T=A^T+B^T,(AB)^T=B^TA^T\)

三.一些特殊的矩阵

数量矩阵：数 \(k\) 和单位矩阵的乘积称为数量矩阵

对角形矩阵：非对角元素都是 \(0\) 的矩阵（即 \(\forall i\ne j,\) 恒有 \(a_{ij}=0\)）称为对角形矩阵，记作 \(A,A=diag[a_1,a_2,\cdots,a_n]\)

上（下）三角矩阵:当 \(i>j(i<j)\) 时，有 \(a_{ij}=0\) 的矩阵

对称矩阵：满足 \(A^T=A\) 的矩阵，即 \(a_{ij}=a_{ji}\) 的矩阵称为对称矩阵
定理：若 \(A,B\) 对称，则 \(AB\) 对称是 \(AB\) 可交换的充要条件

反对称矩阵：满足 \(A^T=-A\) 的矩阵，即 \(a_{ij}=-a_{ji}\) 的矩阵称为反对称矩阵

先写到这，明天继续