R语言中的模拟过程和离散化：泊松过程和维纳过程

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原文出处：拓端数据部落公众号

本文中，我们讨论了一个将Poisson过程与Wiener过程结合在一起的最佳算法的问题。实际上，为了生成泊松过程，我们总是习惯于模拟跳跃之间的持续时间。我们使用给定时间间隔内跳跃的均匀性，该条件取决于跳跃的次数。

首先，我们可以生成一个可能具有漂移的维纳过程，然后在其旁边，我们可以生成指数定律（这将对应于跳跃之间的时间），还可以生成跳跃幅度 。我们在这里

要么 。我们首先通过注意

其中增量是高斯（均值和方差），并且彼此独立。至于跳跃之间的持续时间，它们是独立的平均指数定律。这是代码，

n=1000
h=1/n
lambda=5
set.seed(2)
W=c(0,cumsum(rnorm(n,sd=sqrt(h))))
W=rexp(100,lambda)
N=sum(cumsum(W)<1)
T=cumsum(W[1:N])
X=-rexp(N)

问题是对于维纳过程，我们必须离散化，而对于复合泊松过程，我们不能离散化。但是，他们有相同的时间范围。第一种方法是建立trunc函数 

W[trunc(n*t)+1]+sum(X[T<=t])+lambda*t

然后可视化

L=Vectorize(Lt
plot(u,L(u),type="l

另一种可能性是使用我在引言中提到的泊松过程的均匀性。因为泊松过程满足一个特性：如果是第i个跳跃发生的日期，则有条件基于以下事实： ，变量 

 对应于的订单统计  独立变量，是均匀分布

该属性可在 Wolff（1982）中找到。我们从一个（单个）跳跃开始，

即我们找到一个统一的分布函数。然后，我们进行2跳，3跳等迭代。

这个想法的R翻译很简单

N=rpois(1,lambda)

然后，一种策略是离散化Poisson过程，与Wiener过程的时间步长相同，

indice=trunc(T*n
processus=W+cumsum(saut)+lambda*u

我们发现与以前相同的轨迹

通过此过程，我们不能在同一时间间隔内有两次跳跃。泊松过程的特征是

因此，极少有机会同时进行两次跳跃，尤其是在时间步长较小的情况下。如果我们生成数千条轨迹，那么一次出现问题的可能性就可以忽略不计。

有一个主意是采用离散均匀分布，

T=c(0,sort(sample((1:(n-1)/n),size=N,replace=FALSE)))

以避免同时发生两次跳跃。

为此，我们可以做一些测试。例如，生成一些模拟以具有一百次跳跃（因此两次跳跃之间的持续时间为一百次），然后进行指数定律检验。

VT=0
for(ns in 1:20){
N=rpois(1

我们在这里做了20个循环

lambda=5

我想进行一百次观察来进行检验。然后，我们可以进行指数拟合检验，

ks.test(VT[-1],"pexp",lambda)$p.value

如果我们重复很多次，则通过更改时间步长（或时间间隔的细分数），实际上，如果时间步长很大（在左下方），我们将通常拒绝，指数定律也是如此。但是很快，这是一个不成立的假设，

我们有两个不错的算法来生成莱维过程。

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