文章目录
- 线性代数研究对象
- 主要问题
- 联系
- 核心概念
- 核心定理
- 核心操作和运算
- 基础
- 高级
- 小结
- 性质和推导方法
- 问题转换为线性方程组求解问题
- 验证和推导性质定理
线性代数研究对象
- 线性代数的研究对象主要是行列式和矩阵(向量)
- 矩阵这种对象可以做的操作和运算很多,特别是方阵,它们的计算量天然就有较大的特点,
- 例如:伴随矩阵的计算,矩阵乘法,计算逆矩阵等,其中又以矩阵乘法运算最为重要,几乎贯穿整个学科的始终,是许多其他概念和计算的基础
主要问题
为了解决几个重要问题,提出了许多概念,例如秩,初等变换和基于这些概念的方法
- 矩阵方程和线性方程组的解
- 向量组的线性相关性
- 特征值和特征向量问题
- 矩阵(方阵)相似对角化问题
- 二次型问题
联系
- 向量组线性相关问题和特征值和特征向量问题,本质上可以转化为线性方程组的解的问题
- 例如向量组
线性相关用线性方程组描述为
(1)存在非零解,这又等价于问题(其中
为
的维数,或向量组
- 向量组
能够由
(2)有解 - 矩阵
关于特征值
的特征向量
(3)求解,可以转换为线性方程组(3-1)或(3-2)有求非零解问题(方程(3,3-1,3-2)是等价方程)
- 其中行列式
(4)是方阵的特征多项式,根据Cramer法则,方程(3-1)具有非零解的条件是(4)取
- 由此可以求出所有特征值
- 再分别求出矩阵
的解
- 特征值和特征向量为矩阵相似对角化可行性的判定作铺垫,矩阵
重特征值
具有
- 二次型
=
的问题,本质上二次型的对称阵
- 二次型标准化问题对应于
的相似对角化问题
- 对称阵
一定可以相似对角化,而且是正交相似对角化,
- 一定存在正交阵
(
)使得
=
=
- 或者说
=
,其中
是
- 二次型规范化问题:任何二次型都可以规范化
- 二次型(对应矩阵)正定问题
核心概念
- 基本概念:
- 行列式
- 矩阵
- 线性方程组
- 抽象概念
- 矩阵的秩
- 向量组的秩
核心定理
- 线性方程组有解判定定理及其推广
- 判定条件:
- 向量组线性相关性判定定理
- 本质上是线性方程组的应用,将向量组线性相关性问题通过建立对应的线性方程组,转化为分析方程组解的情况问题
- 向量组线性相关有许多结论,这些结论很多都可以用本定理推导证明
- 秩的相关定理
- 由于线性方程组判定定理涉及到秩,因此关于秩相关定理和常用
- 例如
- 矩阵作初等行变换不改变秩
(或部分组的秩不超过整体组的秩)
核心操作和运算
基础
- 转置运算
- 内积运算
- 矩阵乘法运算
- 初等变换运算
- 向量单位化运算
高级
- 方阵行列式运算
- 矩阵(向量组)秩
- 求逆运算
- 对角化
小结
- 矩阵乘法和初等变换是最核心的矩阵操作
性质和推导方法
问题转换为线性方程组求解问题
- 大多数问题都可以和线性方程组的求解问题挂钩,通过构造线性方程组来研究线性代数的大多数问题
- 而线性方程组的解由依赖矩阵乘法和矩阵的秩
- 矩阵乘法负责问题表达和转换
- 而系数矩阵和增广矩阵的秩的判定直接决定了线性方程组解的情况
- 而矩阵的秩又依赖于初等变换
- 可见初等变换和矩阵乘法的重要性
验证和推导性质定理
- 线性代数中有很多利用运用构造法,化归法,反证法的例子
- 例如证明
的过程中,我们可以构造
,再利用更加基础的结论证明它:
,
有相同的秩
- 换元代入完成证明
- 构造齐次线性方程组
,通过研究其解的情况来研究向量组
- 反证法:许多关于存在性的命题和结论可以用反证法证明,例如线性相关性命题