函数图形渐近线分析

文章目录

• 曲线的渐近线
• 水平和垂直渐近线
• 斜渐近线

• 斜渐近线公式推导
• 简便方法确定斜渐近线(一次多项式化方法)

• 例

曲线的渐近线

• 渐近线综合了极限和函数图形的知识,尤其是斜渐近线

水平和垂直渐近线

• 若点沿曲线无限远离原点时,它于某条直线之间的距离将趋近于0,则称该直线为曲线的渐近线
• 若与轴平行,则该直线称为水平渐近线

• 若(包括,),则为的水平渐近线

• 若与轴平行,则该直线称为垂直渐近线或铅直渐近线

• 若,(包括,),则为的水平渐近线
• 注意只要有一侧满足条件,就称处有渐进线

斜渐近线

• 若不与坐标轴平行,则该直线称为斜渐近线

• 若且;(包括,),则为的斜渐近线

斜渐近线公式推导

• 动点到直线:的距离为(0),
• 不妨设有在时的渐近线,

• 由渐近线性质,,(1)
• 由极限性质和式(1)可知(2),
• 由函数加法极限运算法则:,(3)

• 构造(4);即= ==0,所以=,即(5)
• (5),(3)两个极限,分别可求得,也就求得了渐近线

• 公式组表明,欲判断曲线的斜渐渐线,需要针对两类情形,分别构造2个极限式,两者都存在时,就可以确定有相应的渐渐线
• Note:

• 关于式(3),还可以这样理解:于渐近线平行且过原点的直线方程为
• 而当时,与在轴方向上的距离,
• 即,所以有式(3)

简便方法确定斜渐近线(一次多项式化方法)

• 由于渐近线是直线,考虑从直线方程找新途径
• 当足够大时,且存在渐近线时,我们可以使用渐近线来近似
• 一般得,若能够表示为=,,其中是一个时得无穷小,那么就能说明是的斜渐近线
• 这种方法确定渐近线通常要搭配泰勒公式(麦克劳林公式),将非多项式多项式化

• 可以先从被求函数提取出一个或
• 对剩余部分作泰勒展开,且只需要展开到(如果没有就只需要展开到常数项)就可以了,的高次方无穷小可以用低次方代替,因为包含,
• 当然,反过来就不行,不能用高阶无穷小表示(代替)低阶无穷小

例

• 曲线=的渐进线

• 水平渐近线:,因此无水平渐渐
• 垂直渐近线:

• 从定义域找有限值:
• 对于

• 具体要分和的情形
• =
• =,因此处存在垂直渐近线

• 斜渐近线(定义法)

• 构造==
• ==

• 这个极限是未定式)
• 其计算可以通过适当的增减同一项,这里,需要一定的经验和尝试找出合适的项
• 从而=,然后适当分组:

• =

• =(分子有理化)
• =(等价无穷小)

• ==

• 因此的渐近线为

• 类似的,可以求得另一条渐近线为

• 斜渐近线(一次多项式化方法)

• =,

• =

• 这里=中的无穷小可以用代替,

• =
• =,其中==是的无穷小
• =+,;或

• 综上,共有3条渐近线