基于OCF，我们迈入序数与基数之路，登神长阶
我们进入不可计算的领域，需要的则是底层的集合论与数理逻辑
学术界对于序数分析(Ordinal Analysis)的研究起源于证明论序数(Proof Theory Ordinal)，由此诞生的则是前沿的目标大饼，离我们最近的也许是\(PTO(Z_2)\)，不过这个对数理逻辑要求太高，我大概是不会讲的（
证明论的历史
不保证本文内容可靠性
递归
我们之前的所有操作，不管是取后继，取极限（取上界），还是取不动点，终究只是在递归(recrussion)
因此我们可以定义一个非递归序数\(\Omega\)，它满足不可递归性：对任意非递归序数，都不可能从\(\alpha<\Omega\)经过\(\alpha\)次操作达到\(\Omega\)
或是说\(\Omega\)是全体可以经过少于\(\Omega\)次操作构造出来的数的上界
那么最小的非递归序数就是从0出发，不可能经过小于\(\Omega_0\)次操作到达\(\Omega_0\)
我们在\(OCF\)中使用的一般是这个或是这个的弱化版\(\omega^{CK}\)
然后我们可以从\(\Omega_0\)出发得到\(\Omega_\alpha=\sup \Omega_{\beta<\alpha}\)
注意\(\Omega_\alpha\)并不一定是非递归序数，例如\(\Omega_\omega\)可以经过\(\omega\)次取极限得到
你问是否循环定义或者是否存在？
严格来说需要考虑公理系统，但这里还是回答
我 不 知 道
我们定义\((1,0)\)为某个函数的一阶第一个不动点，例如\(\text{LVO}=\varphi(1@(1,0))\)（通过这种方法\(\varphi\)可以叠到\(\text{BO}\)，不过继续就偏题了
然后我们把\(\Omega_{\alpha}\)也可以看成一个函数，其不动点\(\Omega_{(1,0)}=\Omega_{\Omega_{(1,0)}}\)
反射
反射(reflect)来源于数理逻辑
我们定义\(L_\alpha\models\varphi\Rightarrow\exist\beta\in(X\cap\alpha)L_\beta\models\varphi\)
其中\(L_\alpha\models\varphi\)表示在\(L_\alpha\)中可以见证(model)\(\varphi\)为真
但是这不是重点
然后我们有Levy Hierarchy
如果\(\varphi\)等价于一条一阶逻辑中没有未约束量词的公式，那么我们称\(\varphi\)是\(\Sigma_0\)和\(\Pi_0\)的
如果\(\varphi\)等价于\(\exist x_0\exist x_1...\exist x_k\psi\)，其中\(\psi\)是\(\Sigma_n\)的，那么\(\varphi\)是\(\Pi_{n+1}\)的
如果\(\varphi\)等价于\(\forall x_0\forall x_1...\forall x_k\psi\)，其中\(\psi\)是\(\Pi_n\)的，那么\(\varphi\)是\(\Sigma_{n+1}\)的
如果一个公式既是\(\Sigma_n\)又是\(\Pi_n\)，我们称其为\(\Delta_n\)的，可能会在某些\(\text{PTO}\)中见到这个
然后我们可以证明，\(\Pi_n=\Sigma_{n+1}\)，证明略，因此我们之后都会使用\(\Pi\)
最后我们来定义反射序数(Reflecting Ordinal)
若\(L_\alpha\)在\(X\)上反射所有\(\Pi_n\)公式，则称\(\alpha\)为\(X\)上的\(\Pi_n\)反射序数
一个结论是\(\Pi_1\)反射序数等同于\(\alpha\)可以从对\(X\)取极限点得到，或者说\(\alpha=\sup\{\alpha\cap X\}\)
容许
容许(admissible)也是一个来源于数理逻辑的概念
我们定义：若\(L_\alpha\models KP\)，则称\(\alpha\)为容许序数
其中\(KP\)为\(\text{Kripke-Platek Set theory}\)
\(\omega^{CK}\)为最小的容许序数
容许序数和非递归序数的行为在后期才会出现分歧，前期一般不加区别
稳定
这位更是重量级（
等我踏上了稳定序数再来更吧