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微分流形Loring Tu 习题21.2解答

时间:2023-12-12 23:11:32浏览次数:29  
标签:wedge partial 21.2 Tu varphi frac 习题 dr ldots

今天的作业,随手写到博客吧.

\(Proof.\)对于任意的\(p \in M\),有p附近的坐标卡\((U,x^{1},\ldots,x^{n})\), 由引理\(21.4\),$$dx^{1}\wedge\ldots \wedge dx^{n}(X_{1,p},\ldots,X_{n,p})>0$$

设\(\beta=dr^{1}\wedge\ldots \wedge dr^{n}\),

\[\beta (\frac{\partial }{\partial r^{1} },\ldots,\frac{\partial }{\partial r^{n} })=dr^{1}\wedge\ldots \wedge dr^{n}(\frac{\partial }{\partial r^{1} },\ldots,\frac{\partial }{\partial r^{n} })=1 \]

\[\beta (X_{1,p},\ldots,X_{n,p})=dr^{1}\wedge\ldots \wedge dr^{n}(\varphi_{*} X_{1,p},\ldots,\varphi_{*}X_{n,p})=dx^{1}\wedge\ldots \wedge dx^{n}(X_{1,p},\ldots,X_{n,p})>0 \]

故\((\varphi_{*} X_{1,p},\ldots,\varphi_{*}X_{n,p}) \sim (\dfrac{\partial }{\partial r^{1} },\ldots,\dfrac{\partial }{\partial r^{n} })\). 证毕.

标签:wedge,partial,21.2,Tu,varphi,frac,习题,dr,ldots
From: https://www.cnblogs.com/colorfulLau/p/17897828.html

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