大数入门（2）——扩展的基本列与多元Veblen函数

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扩展——指数不动点

进一步的，我们可以考虑\(\omega^{\omega^{\omega^{...}}}\)
仿照\(\omega\)的定义，我们定义\(\epsilon_0=\sup\{\omega,\omega^\omega,\omega^{\omega^\omega},...\}\)
另一种更为深刻的理解方式是：\(\epsilon_0\)是\(\alpha\rightarrow\omega^\alpha\)的第一个指数不动点

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此处有一个重难点：为什么不能套用n级运算，而是仅仅定义到第4级运算？
之前的不动点又是什么？

一种解释是我们考虑\(0,1\)和\(+,×\)两个运算形成的闭包，从而\(\epsilon_0\)是第一个不在闭包内的序数

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总之可以继续叠了，但是我们发现\(\omega^{\epsilon_0}=\epsilon_0\)，不能这样叠
于是我们再回归之前用加法叠，发现\(\epsilon_0+1>\epsilon_0\)
从而继续\(\epsilon_1=\sup\{\omega^{\epsilon_0+1},\omega^{\omega^{\epsilon_0+1}},...\}\)
这一基本列可以改写成比较好看点的形式：\(\{\epsilon_0,\epsilon_0^{\epsilon_0},...\}\)
你说为什么相等？留 做 习 题

继续叠到\(\epsilon_{\omega}=\sup\{\epsilon_0,\epsilon_1,...\}\)
然后引入序数迭代\(\epsilon_{\alpha+1}=\epsilon_\alpha^{\epsilon_{\alpha+1}}\)，然后我们可以从\(\epsilon_\omega\)叠到\(\epsilon_{\epsilon_0}\),\(\epsilon_{\epsilon_{\epsilon_{...}}}\)
下一层不动点\(\zeta_{0}=\sup\{\epsilon_0,\epsilon_\epsilon,\epsilon_{\epsilon_\epsilon},...\}\)，不动点迭代规则相同
再下一层\(\eta_{0}=\sup\{\zeta_0,\zeta_\zeta,\zeta_{\zeta_\zeta},...\}\)，不动点迭代规则相同
然后我们发现层内和层间规则都是相同的，这提示我们进一步拓展的方向

进一步扩展——Veblen序数

定义值为序数的二元Veblen函数，令\(\varphi(n,x)\)表示第\(x\)个第\(n\)级不动点，例如\(\varphi(1,2)=\epsilon_2,\varphi(3,\omega)=\eta_\omega\)
那么列举一些序数如下

\[\begin{split} \varphi(2,0)&=\zeta_0\\ \varphi(1,\varphi(2,0)+1)&=\epsilon_{\zeta_0+1}\\ \varphi(2,\omega)&=\zeta_\omega\\ \varphi(2,\varphi(1,0))&=\zeta_{\epsilon_0} \end{split}\]

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