前言
本文记录了一场对于“三元数”的无疾而终的探索。
起初，我只是想把复平面推广至三维。在读罢钟玉泉《复变函数论》的第一章第3节关于辐角和模的部分后，这个想法很自然而然地出现了。
随后，我发现这个东西其实早就有名字了，也就是”三元数“。
问题引入
由离散数学学过的知识可知，复数集C与实数集R是等势的[1]，实数集R与n维实数集R^n 是等势的[2]，故而复数集C与2维实数集R^2是等势的。也就意味着复平面上从原点到点(x,y)所引的向量与复数域中的元素z=x+iy能建立一一对应关系。
由离散数学学过的知识又可知，复数集关于普通的加法和乘法构成环，称为复数环。而复数环又可知是交换环、含幺环和无零因子环，所以复数环是整环。并可进一步确定，复数环是域。
尽管，如前所述，向量与复数的对应关系使得复数域上的加减法与向量的加减法之间保持一致；然而，亦如前所述，复数域是域，但是向量空间中的乘法（无论是点乘还是叉乘）都不能使向量空间称为域。也就是说，复数域上的乘法与向量的乘法并不保持一致。
通俗地讲，定义在复平面的乘法运算的几何直观是对于其中一个被乘数进行缩放与旋转。同时，由线代的知识可知，对于一个R^2 （此处这个记号表示二维向量空间）中的二维向量，将其左乘或者右乘一个2×2的矩阵，几何直观上也是在二维平面内对原向量进行缩放与旋转。这二者间具有相当令人愉悦的关联。然而，对于n维向量空间R^n中的n维向量，将其乘以n×n矩阵，仍能将之视为把这个n维向量在n维空间中进行了缩放与旋转。
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可是复平面仅仅是二维。矩阵乘法与复数乘法之间关于缩放与旋转的令人愉悦的关联，并不能随着向量空间推广至n维而也推广至n维，因为复平面仅仅是二维。复数仅仅只是一件二维的事情。
于是我想，能不能搞出二维以上的、更高维的”复数”？
想到此处，实在睡不着了，凌晨两点接近三点，我又爬下床把pad拿到床上。
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引申尝试
记 $ c_i=x_i +i·y_i +j·z_i $，为我所想研究的三维复数。
由于复数的指数形式在进行乘法运算时的便捷性，因而首先考虑找出新定义的三维复数c=x+iy+jz的指数形式。回顾复平面上的复数的指数形式，其由欧拉公式
给出，出于我的动机，以下我将上式称作欧拉公式的二维版本，并希望找出高维版本的欧拉公式。那么就首先需要回归二维的欧拉公式的证明过程，并仿照其思路进行高维推广。
对于二维欧拉公式的证明，大抵在各种帖子间见到了如下四种不同的证明方法：①首先是最常见同时也是明显错误了的方法，使用泰勒展开[3][4]，因为在连欧拉公式都没有证出的前提下讨论解析函数的泰勒展式，属于执果索因，陷入循环论证了，泰勒展示是用于验证欧拉公式的、而不能用以证明它；②涉及求导与积分的一类方法[5]，往往涉及实数求导法则在复数域上的延拓，而且容易想当然地引入一些函数和导函数的定义、而这些定义本身又与欧拉公式形成循环论证；③结合了图形的方法[6]，除去前述可能出现的执果索因的风险外，个人认为证明过程结合图形也并不是一种令人放心的方式，虽适合帮助理解，但最好不作为证明本身，因为尽管数学语言也属于不严谨的自然语言，但相比于写写画画还是有更大的概率做到严密。④从复指数函数的定义出发，下面给出其证明过程[7]：
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另外，其中需要注意的另一个点是，凡使用欧拉公式对棣莫弗公式进行证明的都会引起循环论证。棣莫弗公式可如下证明：
两个复数相乘，有
$ \begin{equation}
\begin{split}
z_1z_2 &= r_1(cosα+isinα)·r_2(cosβ+isinβ)\\
&=r_1r_2(cosα·cosβ-sinα·sinβ+(cosα·sinβ+cosβ·sinα)i) \\
&=r_1r_2(cos(α+β)·sin(α+β))·i \\
\end{split}
\end{equation} $
那么对于多个复数相乘，则证明过程同上。故而得证。
那么，为了找出高维版本的欧拉公式，在回顾上述的二维欧拉公式的证明过程时，可以注意到，棣莫弗定理也同样需要推广至高维形式。因为在上述的证明过程中棣莫弗定理是必要的一环，因而问题暂时转换为如何构建合适的坐标描述，使得先前定义的三维复数c_1=x_1+iy_1+jz_1与c_2=x_2+iy_2+jz_2可以在形式上相像与二维棣莫弗定理的形式。
（1）若采用球坐标，
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则c=x +iy +jz=R·sin φ·cos θ+R·sin φ·sin θ·i+R·cos φ·j。设
: $$ c_1= R_1·sin φ_1·cos θ_1+R_1·sin φ_1·sin θ_1·i+R_1·cos φ_1·j $$
$$ c_2= R_2·sin φ_2·cos θ_2+R_2·sin φ_2·sin θ_2·i+R_2·cos φ_2·j $$，
显然，c_1c_2最后会形如数学公式: $ A+Bi+Cj+Di·j $。由于不清楚ij是否应该定义成某个实数（-1或1或者别的非实数的东西），那么先考虑c_1c_2中i与j的系数B和C
: $ \begin{equation}
\begin{split}
B &= R_1·sin φ_1·cos θ_1·R_2·sin φ_2·sin θ_2·i+R_1·sin φ_1·sin θ_1·i·R_2·sin φ_2·cos θ_2\\
&=R_1R_2(sin φ_1·sin φ_2·cos θ_1·sin θ_2+sin φ_1·sin φ_2·sin θ_1·cos θ_2)·i \\
&=R_1R_2(sin φ_1·sin φ_2·(cos θ_1·sin θ_2+sin θ_1·cos θ_2))·i \\
&=R_1R_2(sin φ_1·sin φ_2·sin(θ_1+θ_2))·i \\
\end{split}
\end{equation} $
$ \begin{equation}
\begin{split}
C &= R_1·cos φ_1·j·R_2·sin φ_2·cos θ_2+ R_1·sin φ_1·cos θ_1·R_2·cos φ_2·j\\
&=R_1R_2(sin φ_2·cos φ_1·cos θ_2+sin φ_1·cos φ_2·cos θ_1) ·j\\
\end{split}
\end{equation} $
显然，并没有类似二维棣莫弗公式的形式。只能说，球坐标系的描述并不能够产生出类棣莫弗定理的良好性质。于是尝试另一种坐标的描述方式：
（2）若采用向量的各个方向余弦，
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则c=x +iy +jz=R·cos α+R·cos β·i+R·cos γ·j。
设: $$ c_1=x_1 +iy_1 +jz_1=R_1·cos α_1+R_1·cos β_1·i+R_1·cos γ_1·j $$
$$ c_2=x_2 +iy_2 +jz_2=R_2·cos α_2+R_2·cos β_2·i+R_2·cos γ_2·j $$
那么同样地，考察
$ \begin{equation}
\begin{split}
B &= R_1·cos α_1·R_2·cos β_2·i+ R_1·cos β_1·i·R_2·cos α_2\\
&=R_1R_2(cos α_1·cos β_2+cos β_1·cos α_2)·i \\
\end{split}
\end{equation} $
$ \begin{equation}
\begin{split}
C &= R_1·cos γ_1·j·R_2·cos α_2+R_1·cos α_1·R_2·cos γ_2·j\\
&=R_1R_2(cos γ_1·cos α_2+cos α_1·cos γ_2)·j \\
\end{split}
\end{equation} $
显然，也没有类似二维棣莫弗公式的形式。这使我不得不思考，棣莫弗定理到底是如何在欧拉公式的推导过程中导致了最后形式的出现？是否不追求类棣莫弗定理的高维形式也可以以某种方式获得欧拉公式的高维形式？即使高维欧拉公式绕不开高维棣莫弗定理，那么应该如何构建一个满足条件的三维复空间的不同坐标系的变换？先前被暂时跳过而显得不那么重要的i与j的积是否又能带来一些公式上的改进？
……
思考以上问题的时候已经是凌晨四点将近五点，我不得不宣告暂时失败。
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意外终止
早上，一觉睡醒的冷静让我决定先看看有没有相关工作，试图看看从复平面到我所想的“复空间”的这一扩展，在学界是否已经有所研究了。昨晚没来得及看，因为这一想法是如此自然且看起来是如此的好解决，以至于我甚至觉得自己立刻就可以搞出一些名堂。
我以复数域为关键词搜了搜帖子，起初看到了一篇关于复数域上的向量空间的[8]，但感觉和我想构建的高维复空间好像并不完全相似。突然，在某个地方[9]看到了“四元数”这个词，看到了让我这个点子并非因实施难度、而是从根本上流产了的消息：我想找的三维复空间里的三维复数，哈密顿和高斯等人也曾找过，并且没有找到。但是哈密顿随后找到了四元数。
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想来，相较于我大晚上在床上一两个小时的未遂尝试，他们曾远比我走得更远，然而也没有结果。横跨两百多年，我们都曾经为了类似的简单的念头而努力过，这一点确实让人感到慰藉。但更多地让我脑想起一张梗图：
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此外也注意到，在诸多科普和帖子中，有很多盛赞欧拉公式的优美之处的公式，然而很多溢美之辞更像是人云亦云的附庸风雅，因为在证明过程中，e、i、θ并不是组合成了“e^{iθ}”，而是引入了一个整体记号e^{iθ}，重新进行了人工的定义。然而在我看来正是这份颇显斧凿的人工定义才是这项数学成果的真正优美之处，不是美在玄之又玄、天外飞仙式的“巧妙关联”，而是美在照标打靶的、体系层面的工作的体现。
当年高三时，我曾有一把折扇，一面上印着由20个麦克斯韦方程简化而来的7条方程，另一面上单独印着的就是欧拉公式，二者最大的相似点都在于简洁且形象的记号、记号后所象征的信息量丰富的定义与计算式、以及这些简洁表达为后续工作所带来的便利性。
（有趣的是，麦克斯韦在1873年尝试用四元数来表达他那个由20个等式和20个变量组成的方程组，但未成功。）
参考
[1]https://zhuanlan.zhihu.com/p/59108300 复数域与实数域等势
[2]https://www.zhihu.com/question/25911077 n维实数集R^n与实数集R等势
[3]https://zhuanlan.zhihu.com/p/105366143 错误地用泰勒展开证明欧拉公式
[4]https://blog.csdn.net/yesyes120/article/details/81156295 错误地用泰勒展开证明
[5]https://blog.csdn.net/u012762410/article/details/127039852 涉及求导的证明方式
[6]https://blog.csdn.net/qq_38890412/article/details/117334679 图形的证明方式
[7]https://www.wikiwand.com/zh-hans/欧拉公式#证明 欧拉公式的最舒服的证明方式
[8]https://zhuanlan.zhihu.com/p/362346579?utm_psn=1713687844760002560 复数域上的向量空间
[9]https://zhuanlan.zhihu.com/p/150699389?utm_psn=1713690180446269440四元数