4.2.1 矩阵的数组表示
4.2.2 特殊矩阵的压缩存储
矩阵是以按行优先次序将所有矩阵元素存放在一个一维数组中。但是对于特殊矩阵，如对称矩阵、三角矩阵、对角矩阵和稀疏矩阵等, 如果用这种方式存储，会出现大量存储空间存放重复信息或零元素的情况，这样会造成很大的空间浪费。为节约存储空间和算法（程序）运行时间，通常会采用压缩存储的方法。
- 对角矩阵：指除了主对角线以外的元素都为零的矩阵，即对 任意 i ≠ j (1≤ i , j ≤n)，都有M(i, j)=0。由于只有主对角线上有非零元素，只需存储主对角线上的元素即可。
- 三角矩阵：指上三角或下三角的元素都为零的矩阵。同样地，只需存储其中一部分非零元素，可以节省存储空间。
- 对称矩阵：指矩阵中的元素关于主对角线对称的矩阵。由于对称矩阵的非零元素有一定的规律，可以只存储其中一部分元素，从而减少存储空间。
- 稀疏矩阵：指大部分元素为零的矩阵。传统的按行优先次序存储方法会浪费大量空间来存储零元素，因此采用压缩存储的方法更为合适。常见的压缩存储方法有：压缩稠密行（CSR）、压缩稠密列（CSC）、坐标列表（COO）等。
a. 对角矩阵的压缩存储
【数据结构】数组和字符串（二）：特殊矩阵的压缩存储：对角矩阵——一维数组
b~c. 三角、对称矩阵的压缩存储
【数据结构】数组和字符串（三）：特殊矩阵的压缩存储：三角矩阵、对称矩阵——一维数组
d. 稀疏矩阵的压缩存储——三元组表
对于稀疏矩阵的压缩存储，由于非零元素的个数远小于零元素的个数，并且非零元素的分布没有规律，无法简单地利用一维数组和映射公式来实现压缩存储。针对稀疏矩阵，通常采用特定的数据结构来进行压缩存储，以减少存储空间的占用。
一种常见的稀疏矩阵压缩存储方法是使用"三元组"表示法，也称为COO（Coordinate）格式，只存储非零元素的值以及它们的行列坐标。通过使用三元组（Triplet）来表示非零元素的位置和值，每个三元组包含三个信息：非零元素的行索引、非零元素的列索引以及非零元素的值。
结构体
typedef struct {
int row;
int col;
int value;
} Triple;
typedef struct {
Triple data[MAX_SIZE];
int rows;
int cols;
int length;
} TripletTable;
定义了两个结构体：Triple 和 TripletTable。
Triple结构体表示稀疏矩阵的非零元素，包含三个字段：row表示行号，col表示列号，value表示元素的值。TripletTable结构体用于存储稀疏矩阵的数据，包含一个data数组用于存储非零元素的Triple结构体，以及rows、cols和length字段分别表示矩阵的行数、列数和非零元素的数量。
初始化
void initTable(TripletTable* table, int rows, int cols) {
table->rows = rows;
table->cols = cols;
table->length = 0;
}
initTable 函数用于初始化 TripletTable 结构体，指定矩阵的行数和列数，并将 length 字段置为 0。
元素设置
void insertElement(TripletTable* table, int row, int col, int value) {
if (table->length >= MAX_SIZE) {
printf("Table is full. Cannot insert more elements.\n");
return;
}
Triple* element = &(table->data[table->length]);
element->row = row;
element->col = col;
element->value = value;
table->length++;
}
insertElement 函数用于向稀疏矩阵中插入一个元素，传入参数为行号、列号和元素的值。
- 函数首先检查当前非零元素的数量是否已达到上限
MAX_SIZE- 如果达到上限则输出错误信息并返回。
- 否则，将新元素插入到
data数组的末尾，并更新length字段。
打印矩阵
void displayTable(TripletTable* table) {
int matrix[table->rows][table->cols];
for (int i = 0; i < table->rows; i++) {
for (int j = 0; j < table->cols; j++) {
matrix[i][j] = 0;
}
}
printf("Row\tColumn\tValue\n");
for (int i = 0; i < table->length; i++) {
Triple* element = &(table->data[i]);
printf("%d\t%d\t%d\n", element->row, element->col, element->value);
matrix[element->row][element->col] = element->value;
}
printf("Matrix:\n");
for (int i = 0; i < table->rows; i++) {
for (int j = 0; j < table->cols; j++) {
printf("%d\t", matrix[i][j]);
}
printf("\n");
}
}
displayTable 函数用于显示稀疏矩阵的内容：
- 创建一个与稀疏矩阵相同大小的二维数组
matrix，并将其所有元素初始化为 0； - 遍历
data数组中的非零元素，输出每个元素的行号、列号和值，并将相应位置的matrix数组元素更新为对应的值； - 输出整个矩阵的内容。
主函数
int main() {
TripletTable table;
initTable(&table, 3, 3);
insertElement(&table, 0, 0, 1);
insertElement(&table, 0, 1, 2);
insertElement(&table, 1, 1, 3);
insertElement(&table, 2, 2, 4);
displayTable(&table);
return 0;
}
- 创建一个
TripletTable结构体table，并使用initTable函数初始化它，指定矩阵的行数和列数为3。 - 调用
insertElement函数向table中插入四个非零元素，分别位于 (0, 0)、(0, 1)、(1, 1) 和 (2, 2) 位置。 - 通过调用
displayTable函数，打印出稀疏矩阵的内容和对应的完整矩阵表示。
输出结果
代码整合
#include <stdio.h>
#define MAX_SIZE 10
typedef struct {
int row;
int col;
int value;
} Triple;
typedef struct {
Triple data[MAX_SIZE];
int rows;
int cols;
int length;
} TripletTable;
void initTable(TripletTable* table, int rows, int cols) {
table->rows = rows;
table->cols = cols;
table->length = 0;
}
void insertElement(TripletTable* table, int row, int col, int value) {
if (table->length >= MAX_SIZE) {
printf("Table is full. Cannot insert more elements.\n");
return;
}
Triple* element = &(table->data[table->length]);
element->row = row;
element->col = col;
element->value = value;
table->length++;
}
void displayTable(TripletTable* table) {
int matrix[table->rows][table->cols];
for (int i = 0; i < table->rows; i++) {
for (int j = 0; j < table->cols; j++) {
matrix[i][j] = 0;
}
}
printf("Row\tColumn\tValue\n");
for (int i = 0; i < table->length; i++) {
Triple* element = &(table->data[i]);
printf("%d\t%d\t%d\n", element->row, element->col, element->value);
matrix[element->row][element->col] = element->value;
}
printf("Matrix:\n");
for (int i = 0; i < table->rows; i++) {
for (int j = 0; j < table->cols; j++) {
printf("%d\t", matrix[i][j]);
}
printf("\n");
}
}
int main() {
TripletTable table;
initTable(&table, 3, 3);
insertElement(&table, 0, 0, 1);
insertElement(&table, 0, 1, 2);
insertElement(&table, 1, 1, 3);
insertElement(&table, 2, 2, 4);
displayTable(&table);
return 0;
}