本博文主要探讨如何求函数的对称中心和对称轴，属于高一阶段的探究拓宽内容。
预备知识
1、多项式函数\(y=f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 为奇函数的充要条件是\(a=c=e=0\)
分析：由于函数 \(f(x)\) 为奇函数，故有 \(f(-x)+f(x)=0\)
即\(\bigg[a(-x)^4+b(-x)^3+c(-x)^2+d(-x)+e\bigg]\)\(+\)\(\bigg(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\bigg)=0\)
即 \(2a\cdot x^4+2c\cdot x^2+2e=0\)
即\(a\cdot x^4+c\cdot x^2+e=0\)对 \(\forall x\in R\)
小应用：已知函数 \(f(x)=x^3+(a-1)x^2+ax\)为 奇函数，则 \(a=1\)
2、多项式函数 \(y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) 为偶函数的充要条件是 \(b=d=0\)
分析：仿上例可说明。
探究引申
【2019新人教 A 版\(P_{85}\) 练习第 \(3\)
(1). 从偶函数的定义[1]出发, 证明函数 \(y=f(x)\) 是偶函数的充要条件是它的图象关于 \(y\)
证明：
充分性: 如果 \(f(x)\) 的图象关于 \(y\)轴对称， 则 \(f(x)=f(-x)\)， 所以\(f(x)\)
必要性: 由偶函数的定义知， 任取 \(x \in A\)， 都有 \(-x \in A\) 且 \(f(-x)=f(x)\)，
所以\(P(x, f(x))\) 与 \(P^{\prime}(-x, f(-x))\) 关于 \(y\)
由任意性可得 \(f(x)\) 的图象关于 \(y\)
(2). 从奇函数的定义[2]出发， 证明函数 \(y=f(x)\)
证明：
充分性: 如果 \(f(x)\) 的图象关于原点对称，则 \(f(-x)=-f(x)\)，所以 \(f(x)\)
必要性: 由奇函数的定义知， 任取 \(x \in A\)， 都有 \(-x \in A\) 且 \(f(-x)=-f(x)\)，
所以 \(P(x, f(x))\) 与 \(P^{\prime}(-x, f(-x))\) 关于点 \((0,0)\)对称，
由任意性可得 \(f(x)\) 的图象关于 \((0,0)\)
【2019新人教 A 版\(P_{87}\) 拓广探究第 \(13\) 题】我们知道， 函数 \(y=f(x)\) 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 \(y=f(x)\) 为奇函数[3]， 有同学发现可以将其推广为： 函数 \(y=f(x)\) 的图象关于点 \(P(a, b)\) 成中心对称图形的充要条件是函数 \(y=f(x+a)-b\) 为奇函数[4].
(1). 求函数 \(f(x)=x^3-3 x^2\)
解析：\(f(x+a)=(x+a)^3-3(x+a)^2\)
\(=x^3+2ax^2+a^2x+ax^2+2a^2x+a^3-3x^2-6ax-3a^2\)
\(=x^3+(3a-3)x^2+(3a^2-6a)x+a^3-3a^2\)
所以有，
\(y=f(x+a)-b\)
\(=x^3+(3a-3)x^2+(3a^2-6a)x+a^3-3a^2-b\)
则有，\(\left\{\begin{array}{l}{3a - 3 =0,}\\{a^{3} -3a^{2}-b = 0,}\end{array}\right.\)
解之得到，\(\left\{\begin{array}{l}a=1,\\b=-2.\end{array}\right.\)
所以，\(f(x)=x^3-3x^2\) 的对称中心为 \((1,-2)\)
(2). 类比上述推广结论， 写出 “函数 \(y=f(x)\) 的图象关于 \(y\) 轴成轴对称图形的充要条件是函数 \(y=f(x)\)
分析： 函数 \(f(x)\) 的图象关于直线 \(x=a\) 对称的充要条件是 \(y=f(x+a)\)
应用
- 一般地，设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\)，如果 \(\forall x \in D\)， 都有 \(-x \in D\)， 且 \(f(-x)=f(x)\)，那么函数 \(f(x)\) 就称为偶函数； ↩︎
- 一般地，设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\)，如果 \(\forall x \in D\)， 都有 \(-x \in D\)， 且 \(f(-x)=-f(x)\)，那么函数 \(f(x)\) 就称为奇函数； ↩︎
- 具体见本页例题2的（2）. ↩︎
- 待后整理， ↩︎