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原文出处：拓端数据部落公众号

最近我们被要求撰写关于集成模型的研究报告，包括一些图形和统计输出。特别是在经济学/计量经济学中，建模者不相信他们的模型能反映现实。比如：收益率曲线并不遵循三因素的Nelson-Siegel模型，股票与其相关因素之间的关系并不是线性的，波动率也不遵循Garch(1,1)过程，或者Garch(?,?)。我们只是试图为我们看到的现象找到一个合适的描述。

模型的发展往往不是由我们的理解决定的，而是由新的数据的到来决定的，这些数据并不适合现有的看法。有些人甚至可以说，现实没有基本的模型（或数据生成过程）。正如汉森在《计量经济学模型选择的挑战》中写道。

“模型应该被视为近似值，计量经济学理论应该认真对待这一点”

所有的理论都自然而然地遵循 "如果这是一个过程，那么我们就显示出对真实参数的收敛性 "的思路。收敛性很重要，但这是一个很大的假设。无论是否存在这样的过程，这样的真实模型，我们都不知道它是什么。同样，特别是在社会科学领域，即使有一个真正的GDP，你可以认为它是可变的。

这种讨论引起了模型的组合，或者预测未来的组合。如果我们不知道潜在的真相，结合不同的选择，或不同的建模方法可能会产生更好的结果。

模型平均

让我们使用 3 种不同的模型对时间序列数据进行预测。简单回归 (OLS)、提升树和随机森林。一旦获得了三个预测，我们就可以对它们进行平均。

# 加载代码运行所需的软件包。如果你缺少任何软件包，先安装。

tem <- lappy(c("randomoest", "gb", "quanteg"), librry, charter.oly=T)


# 回归模型。

 



moelm <- lm(y~x1+x2, data=f)


molrf <- ranmFrst(y~x1+x2, dta=df)

mogm <- gb(ata=df, g.x=1:2, b.y=4
faiy = "gssian", tre.comle = 5, eain.rate = 0.01, bg.fratn = 0.5)



# 现在我们对样本外的预测。

#-------------------------------

Tt_ofsamp <- 500


boosf <- pbot(df_new$x1, df_new$x2)

rfft <- pf(df_new$x1, df_new$x2)

lmt <- pm(df_new$x1, df_new$x2)

# 绑定预测

mtfht <- cbind(bo_hat, f_fat, lm_at)

# 命名这些列

c("Boosting", "Random Forest", "OLS")

# 定义一个预测组合方案。


# 为结果留出空间。

resls <- st()

# 最初的30个观测值作为初始窗口

# 重新估计新的观测值到达

it_inw = 30

for(i in 1:leth(A_shes)){
A_nw$y, mt_fht,Aeng_hee= A_scmes[i, n_wiow = intwdow )



}

# 该函数输出每个预测平均方案的MSE。


# 让我们检查一下各个方法的MSE是多少。

atr <- apy(ma_ht, 2, fucon(x) (df_wy - x)^2 )

apy(ma_er[nitnow:Tou_o_saple, ], 2, fncon(x) 100*( man(x) ) )

在这种情况下，最准确的方法是提升。但是，在其他一些情况下，根据情况，随机森林会比提升更好。如果我们使用约束最小二乘法，我们可以获得几乎最准确的结果，但这不需要事先选择 Boosting 、Random Forest 方法。继续介绍性讨论，我们只是不知道哪种模型会提供最佳结果以及何时会这样做。

加权平均模型融合预测

y_t 是你的预测变量， $\widehat{y}_{i,t}$ 是时间预测，从方法，和我 = 1 例如OLS，我=2 提升树和我 = 4 是随机森林。您可以只取预测的平均值：

$\frac{\sum^3_{i=1} \widehat{y}_{i,t} }{3}.$

通常，这个简单的平均值表现非常好。

在 OLS 平均中，我们简单地将预测投影到目标上，所得系数用作权重：

$\widehat{y}^{combined}_t = \widehat{w}_{0t} + \sum_{i = 1}^3 \widehat{w}_{i,t} \widehat{y}_{它}。$

这是相当不稳定的。所有预测都有相同的目标，因此它们很可能是相关的，这使得估计系数变得困难。稳定系数的一个不错的方法是使用约束优化，即您解决最小二乘问题，但在以下约束下：

$w_{0t} = 0 \quad \text{and} \quad \sum_{i = 1}^3 w_{it} = 1, \qquad \forall t.$

另一种方法是根据预测的准确程度对预测进行平均化，直到基于一些指标如根MSE。我们反转权重，使更准确的（低RMSE）获得更多权重。

$w_{it} = \frac{\left(\frac{RMSE_{i,t} }{\sum_{i = 1}^3 RMSE_{i,t}}\right)^{-1}}{ \sum_{i = 1}^3 \left(\frac{RMSE_{i,t} }{\sum_{i = 1}^3 RMSE_{i,t}}\right)^{-1} } = \ frac{\frac{1}{RMSE_{i,t}}}{\sum_{i=1}^3\frac{1}{RMSE_{i,t}}}.$

您可以绘制各个方法的权重：

这是预测平均方法。



## 需要的子程序。

er <- funcion(os, red){ man( (os - ped)^2 ) }



## 不同的预测平均方案

##简单


  rd <- aply(a_at, 1, an)

  wehs <- trx( 1/p, now = TT, ncl = p)

  ## OLS权重


   wgs <- marx( nol=(p+1)T)  

for (i in in_wnow:TT) {

  wghs[i,] <- lm $oef

pd <- t(eigs[i,])%*%c(1, aht[i,] )

## 稳健的权重



   for (i in iitnow:T) {

    whs[i,] <- q(bs[1:(i-1)]~ aft[1:(i-1),] )$cef

   prd[i] <- t(wihs[i,] )*c(1, atfha[i,])

   ##基于误差的方差。MSE的倒数


  for (i in n_no:TT) {

   mp =aply(aerr[1:(i-1),]^2,2,ean)/um（aply(mter[1:(i-1),]^2,2,man))

  wigs[i,] <- (1/tmp)/sum(1/tep)

  ped[i] <- t(wits[i,] )%*%c(maat[i,] )

  ##使用约束最小二乘法



for (i in itd：wTT) {

  weht[i,] <- s1(bs[1:(i-1)], a_fat[1:(i-1),] )$wigts

  red[i] <- t(wehs[i,])%*%c(aht[i,] )

  ##根据损失的平方函数，挑选出迄今为止表现最好的模型


    tmp <- apy(mt_fat[-c(1:iit_wdow),], 2, ser, obs= obs[-c(1:ntwiow)] )

    for (i in it_idw:TT) {

    wghs[i,] <- rp(0,p)

    wihts[i, min(tep)] <- 1

    ped[i] <- t(wiht[i,] )*c(mht[i,] )

    } }

MSE <- sr(obs= os[-c（1：intiow）], red= red[-c（1：itwiow）])