无限乘积拓扑

  还有关于无限乘积部分，大多数书上直接给出乘积空间中开集的样子。其中有限也不知道如何而来。而且Munkres上的解释与符号过于复杂。
  \(\left\{X_i\right\}_{i\in I}\) 是一族集合,一个映射 \(x : I\rightarrow \bigcup\limits_{i\in I}{X_i}\) 称为一个选择函数,若对于每个 \(i\in I\) 都有 \(x(i)\in X_i\). 换言之,一个选择函数 \(x\) 从每个 \(X_i\) 中选择一个元素—— \(x(i)\). 所有选择函数 \(x : I\rightarrow \bigcup\limits_{i\in I}{X_i}\) 构成的集合称为集族 \(\left\{X_i\right\}_{i\in I}\) 的乘积, 记为 \(\prod\limits_{i\in I}{X_i}\), 即: \(\prod\limits_{i\in I}{X_i}=\left\{x : I\rightarrow \bigcup\limits_{i\in I}{X_i} : \forall i\in I, x(i)\in X_i\right\}\), 若每个 \(X_i\) 都是同一个集合 \(X\), 乘积 \(\prod\limits_{i\in I}{X_i}\) 也记为 \(X^I\).
  选择公理:若 \(\left\{X_i\right\}_{i\in I}\) 是一族非空集, 则存在选择函数 \(x : I\rightarrow \bigcup\limits_{i\in I}{X_i}\).(一族非空集的乘积非空).
  设 \(\left\{X_i\right\}_{i\in I}\) 是一族拓扑空间,集 \(\prod\limits_{i\in I}{X_i}\) 上由所有的投射 \(\left\{p_j : \prod\limits_{i\in I}{X_i} \rightarrow X_j\right\}_{j\in I}\) 生成的初始拓扑称为 \(\left\{X_i\right\}_{i\in I}\) 上的乘积拓扑.
  由定义, 集族 \(\left\{p_{j}^{-1}(U_j) : j\in I, U_j \text{是} X_j\text{的开集} \right\}\) 是乘积拓扑的一个子基.
  该子基的元素有限交构成的集族是乘积拓扑的一个基,称为标准基.
  标准基的元素称为基本开集.
  由于 \(p_{j}^{-1}(U_j) =\left\{x\in \prod\limits_{i\in I}{X_i} : p_j(x)\in U_j\right\}=U_j\times \prod\limits_{i\ne j}{X_i}\), 所以基本开集具有以下形状: \(\prod\limits_{i\in J}{U_i}\times \prod\limits_{i\notin J}{X_i}\) ( \(J\) 为一个有限集).