一、鞍点的定义
一个不是局部最小值的驻点（一阶导数为0的点）称为鞍点。数学含义是： 目标函数在此点上的梯度（一阶导数）值为 0， 但从改点出发的一个方向是函数的极大值点，而在另一个方向是函数的极小值点。
二、判断鞍点的充分条件
那么对于一个驻点如何判断它是否为鞍点呢？这里给出它的充分条件：
判断鞍点的一个充分条件是：函数在一阶导数为零处（驻点）的黑塞矩阵为不定矩阵。
这里有两个概念：
黑塞矩阵：在数学中，黑塞矩阵（Hessian matrix 或 Hessian）是一个多变量实值函数的二阶偏导数组成的方阵（类似于多元函数的二阶导数），假设有一实数函数 ，如果 所有的二阶偏导数都存在，那么黑塞矩阵表示如下：
不定矩阵：
半正定矩阵： 所有特征值为非负。
半负定矩阵：所有特征值为非正。
不定矩阵：特征值有正有负。
三、鞍点例子
下面对函数 的驻点(0,0)判断是否为鞍点。函数图像如下：
我们根据定义来判断(0,0)点的黑塞矩阵：
我们容易求得二元函数 在驻点 (0,0) 处的 Hessian 矩阵形式为：
容易解出特征值一个为2,一个为-2（有正有负），显然是不定矩阵，所以该点是鞍点！
注意：函数在一阶导数为零处（驻点）的黑塞矩阵为不定矩阵只是判断该点是否为鞍点的充分条件，也就是说函数在一阶导数为零处（驻点）的黑塞矩阵不满足不定矩阵的定义，也不一定能够说明它不是鞍点。
在学习最优化课程时，不时听到“鞍点”这个名词。老师很快提了这个词，但没有详细介绍鞍点的含义。
鞍点 （saddle point）的数学含义是： 目标函数在此点上的梯度（一阶导数）值为 0， 但从该点出发的一个方向是函数的极大值点，而在另一个方向是函数的极小值点。
鞍点 （saddle point）的数学含义是： 目标函数在此点上的梯度（一阶导数）值为 0， 但从该点出发的一个方向是函数的极大值点，而在另一个方向是函数的极小值点。
判断鞍点的一个充分条件是：函数在一阶导数为零处（驻点）的黑塞矩阵为不定矩阵。判断鞍点的一个充分条件是：函数在一阶导数为零处（驻点）的黑塞矩阵为不定矩阵。
画图表示两个图形的鞍点：
