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子矩阵的和(二维前缀和)

时间:2023-10-18 21:12:13浏览次数:33  
标签:x1 前缀 int 矩阵 x2 二维 y1 y2

一、算法描述

上一篇文章介绍了一维前缀和,也就是一个数组的前n项和,这篇文章来介绍一下什么是二维前缀和。

含义

  • 一维的是前n项的和,那么二维的情况下,表示的则是与左上角形成的矩形和。

怎么求

  • 一维的递推关系式是s[i] = s[i - 1] + a[i];,我们根据含义来思考二维的递推关系式,读者可以在草稿纸上画一个矩形来更好的理解。

  • \(s[i][j]\) 表示的是 \(i, j\) 这个位置与左上角形成的矩形和,\(s[i - 1][j]\) 表示的是比 \(s[i][j]\) 少一行的矩形和, \(s[i][j - 1]\) 表示的是比 \(s[i][j]\) 少一列的矩形和。

  • 用 \(s[i - 1][j] + s[i][j - 1]\) 得到的就是 \(s[i][j]\) ,但是少了一个 \(a[i][j]\) ,同时多了一个 \(i - 1, j - 1\) 与左上角形成的矩形和,即 \(s[i - 1][j - 1]\)。

  • 综上可以得到求得 \(s[i][j]\) 的递推关系式为:s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];,读者应在草稿纸上自己推理,不要纯靠记忆。

怎么用

  • 一维前缀和的用法在 \(O(1)\) 的时间复杂度内求得 \([l, r]\) 的区间和,那么二维前缀和则是在 \(O(1)\)的时间复杂度内求得 \([x1, y1]\) 到 \([x2, y2]\)这个区域的矩形和。

  • 显然我们要用 \(s[i][j]\) 这块大面积来减去其他的面积,那么需要减去哪些部分呢?大家自行在草稿纸上推演,计算如下:s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1];,根据含义来思考如何推算。

二、题目描述

输入一个 \(n\) 行 \(m\) 列的整数矩阵,再输入 \(q\) 个询问,每个询问包含四个整数 \(x1, y1, x2, y2\),表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 \(n, m, q\)。

接下来 \(n\) 行,每行包含 \(m\) 个整数,表示整数矩阵。

接下来 \(q\) 行,每行包含四个整数 \(x1, y1, x2, y2\),表示一组询问。

输出格式

共 \(q\) 行,每行输出一个询问的结果。

数据范围

\(1≤n,m≤1000,\)
\(1≤q≤200000,\)
\(1≤x1≤x2≤n,\)
\(1≤y1≤y2≤m,\)
\(1000≤矩阵内元素的值≤1000\)

输入样例:

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4 

输出样例:

17
27
21 

三、题目来源

AcWing算法基础课-796.子矩阵的和

四、源代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, q;
int a[N][N], s[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m >> q;
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            cin >> a[i][j];
        
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            s[i][j] = s[i][j - 1] + s[i - 1][j] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
            
    while (q -- )
    {
        int x1, y1, x2, y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        
        cout << s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1] << endl;
    }
    
    return 0;
}

标签:x1,前缀,int,矩阵,x2,二维,y1,y2
From: https://www.cnblogs.com/grave-master/p/17773172.html

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