整理自机器人学导论第二章空间描述和变换
描述
位置描述
用三个正交单位矢量表示一个坐标系{A}，如\(X_A,Y_A,Z_A\)
对坐标系中的任何点进行定位，用一个矢量来表示该点的位置，如\(P_A\)，矢量的哥哥元素用下标x,y,z表示，即\(P^A=(p_x,p_y,p_z)\)
姿态描述：
\(X_B,Y_B,Z_B\)是\(B\)坐标系主轴方向的单位向量
\(X_B^A,Y_B^A,Z_B^A\)是\(B\)坐标系三个主轴方向的单位向量在坐标系\(A\)中的表示
则旋转矩阵
也即
\[X_B=X_Ar_{11}+Y_Ar_{21}+Z_Ar_{31}=[X_A,Y_A,Z_A](X_B^A)^T\\Y_B=X_Ar_{12}+Y_Ar_{22}+Z_Ar_{32}=[X_A,Y_A,Z_A](Y_B^A)^T\\Z_B=X_Ar_{13}+Y_Ar_{23}+Z_Ar_{33}=[X_A,Y_A,Z_A](Z_B^A)^T \]每个标量\(r_{ij}\)都可以用两组标准正交基中对应向量点积(点积均表示为\(X\cdot Y\))表示，例如
\(X_A\cdot X_B=X_A\cdot (X_Ar_{11}+Y_Ar_{21}+Z_Ar_{31})=r_{11}\)
因此旋转矩阵可以表示为
从中也可以看出，旋转矩阵的每一行是单位矢量{\(A\)}在{\(B\)}中的表示，每一列是单位矢量{\(B\)}在{\(A\)}中的表示。
因此\(R_A^B=(R_B^A)^T\)，这表明旋转矩阵的逆等于他的转置
坐标系描述
为了完整描述坐标系的信息，需要使用该坐标系原点相对于另一坐标系的位置，用向量\(P_B^A\)表示，和坐标系的姿态，用\(R_B^A\)表示。即
\[\{B\}=\{R_B^A,P_B^A\} \]映射：坐标系到坐标系的变换
平移坐标系的映射
\[P^A=P_B+P_B^A \]旋转坐标系的映射
\[P^A=R_B^AP^B \]一般坐标系的映射
\[P^A=R_B^AP_B+P_B^A \]写成变换矩阵的形式
\[\begin{bmatrix}P^A\\ 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} R_B^A&P_B^A\\ 0&1\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}P^B\\ 0\end{bmatrix}\]从映射的角度看，原矢量\(P\)在空间中没有改变，只是求出了这个矢量相对于另一个坐标系的新的描述
算子：点的平移、旋转和变换
平移算子
\[P_2^A=D_QP_1^A \]\[D_Q=\begin{bmatrix} 1&0&0&q_x\\ 0&1&0&q_y\\ 0&0&1&q_z\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\]旋转算子
\[P_2^A=R_K(\theta)P_1^A \]\(R_K(\theta)\)表示绕\(K\)轴旋转\(\theta\)角的旋转矩阵
绕坐标轴的齐次旋转矩阵形式
变换算子
\[P_2^A=T_AP_1^A \]和映射中的数学描述相同
变换算法
混合变换
\[P_B=T_C^BP^C \]\[P_A=T_B^AP_B \]\[P_A=T_B^AT_C^BP^C \]因此
\[T_C^A=T_B^AT_C^B \]逆变换
旋转矩阵中
\[R_A^B=(R_B^A)^T \]将\(P_B^A\)转换为在{B}中的描述
\[(P_B^A)^B=R_A^BP_B^A+P_A^B \]所以
\[P_A^B=-R_A^BP_B^A=-(R_B^A)^TP_B^A \]因此
\[T_A^B=\begin{bmatrix} (R_B^A)^T&-(R_B^A)^TP_B^A\\ 0&1\\ \end{bmatrix}\]姿态其他描述方法
X-Y-Z固定坐标系
\[(R_B^A)_{XYZ}(\alpha,\beta,\gamma)=R_Z(\gamma)R_Y(\beta)R_X(\alpha)\\= \begin{bmatrix} \cos\gamma&-\sin\gamma&0\\ \sin\gamma&\cos\gamma&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\beta&0&\sin\beta\\ 0&1&0\\ -\sin\beta&0&\cos\beta\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&\cos\alpha&-\sin\alpha\\ 0&\sin\alpha&\cos\alpha\\ \end{bmatrix}\]\[=\begin{bmatrix} \cos\beta\cos\gamma&\cos\gamma\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\sin\gamma&\sin\alpha\sin\gamma+\cos\alpha\cos\gamma\sin\beta\\ \cos\beta\sin\gamma&\cos\alpha\cos\gamma+\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma&\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma-\cos\gamma\sin\alpha\\ -\sin\beta&\cos\beta\sin\alpha&\cos\alpha\cos\beta\\ \end{bmatrix} \]Z-Y-X欧拉角
\[R_B^A=R_{B'}^AR_{B''}^{B'}R_{B}^{B''} \]其中\(B''\)和\(B''\)都是中间坐标系，\(B'\)绕\(Z\)轴旋转\(\gamma\)角，\(B''\)绕\(Y\)轴旋转\(\beta\)角，\(B\)绕\(X\)轴旋转\(\alpha\)角
\[(R_B^A)_{ZYX}(\gamma,\beta,\alpha)=R_Z(\gamma)R_Y(\beta)R_X(\alpha)\\ = \begin{bmatrix} \cos\gamma&-\sin\gamma&0\\ \sin\gamma&\cos\gamma&0\\ 0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\beta&0&\sin\beta\\ 0&1&0\\ -\sin\beta&0&\cos\beta\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&\cos\alpha&-\sin\alpha\\ 0&\sin\alpha&\cos\alpha\\ \end{bmatrix}\]\[=\begin{bmatrix} \cos\beta\cos\gamma&\cos\gamma\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\sin\gamma&\sin\alpha\sin\gamma+\cos\alpha\cos\gamma\sin\beta\\ \cos\beta\sin\gamma&\cos\alpha\cos\gamma+\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma&\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma-\cos\gamma\sin\alpha\\ -\sin\beta&\cos\beta\sin\alpha&\cos\alpha\cos\beta\\ \end{bmatrix} \]即三次绕固定轴的旋转最终姿态和以相反顺序绕运动坐标轴的旋转最终姿态相同
四元数
由等效旋转轴和等效旋转角定义
\[q=\begin{bmatrix} q_1\\ q_2\\ q_3\\ q_4\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} n_x\sin\frac{\theta}{2}\\ n_y\sin\frac{\theta}{2}\\ n_z\sin\frac{\theta}{2}\\ \cos\frac{\theta}{2}\\ \end{bmatrix}\]其中\(\theta\)是旋转角，\(n_x,n_y,n_z\)是旋转轴的方向余弦，满足\(q_1^2+q_2^2+q_3^2+q_4^2=1\)
标签：cos,变换,beta,bmatrix,空间,alpha,sin,gamma From： https://www.cnblogs.com/wangerblog/p/17772880.html