马上就要csps 了还啥也不会，真就是酸菜鱼了。
定义
二阶差分就是在差分数组的基础上再做一次差分。
举个很板的栗子就是对一个序列进行一个等差数列式的一个减法，这个时候我们可以通过二阶差分，在 \(O(1)\) 的复杂度进行修改，之后就是 \(O(n)\) 的二维前缀和，就可以维护出来我们的一个序列了（至于比较灵活的应用还不会，等我会了upd，或者就是等我退役了直接再等 \(\infty\) 年更新）
例题
T1
这个题目就是我上面说的等差数列维护就好了，很板的一道题。（
这个题目可以推出来，我们在维护二维差分数组的时候，我们进行的单点 修改应该是这样的：
记 \(c_1\) 为修改时候的等差数列的第一项，\(d\) 为等差数列的公差，\(c_m\) 为等差数列的 末项，\(l\) 为等差数列修改的左边界，\(r\) 为等差数列的右边界，\(d\)为我们的二维差分数组 。
我们修改的地方就应该为
\[d[l] \gets d[l] + c_1 \]\[d[l+1] \gets d[l + 1] + d - c_1 \]\[d[r+1] \gets d[r + 1] - d - c_m \]\[d[r + 2] \gets d[r + 2] + e \]T2
这个题目其实也是和上面的题目一样，但是我们需要考虑在修改的同时维护一个前缀和，不难想到用树状数组来进行维护（树状数组又好写，又常数小，谁不爱用呢 ）。由于我们对原数组进行了差分，所以我们求一个位置的时候应该是求这个位置的二阶前缀和，然后我们在修改的时候是进行四次单点修改（修改位置同上）。下面我们就要推式子然后看我们树状数组是要维护什么：
记 \(d\) 为一阶差分序列，\(d'\) 为二阶差分序列。
\[\begin{aligned} a _ i &= \sum _ {j = 1} ^ i d _ i \\ &= \sum _ {j = 1} ^ i \sum _ {k = 1} ^ j d' _ k \\ &= \sum _ {j=1} ^ i (i - j + 1) d' _ j \\ &= (i + 1)\sum _ {j = 1} ^ i d' _ j - \sum _ {j = 1} ^ i j \times d' _ j\end{aligned} \]这个时候我们就知道我们需要通过树状数组维护两个东西：一个是 \(d' _ i\)的前缀和，另一个是 \(j \times d' _ j\) 的一个前缀和。
啥时候才能不用学知识的菜鱼啊