【机器学习中的矩阵求导】（八）标量函数f(x)的雅克比矩阵（迹函数）

学习总结

• 交换律：，需要满足、同维度
• 行列式微分：

文章目录

• ​​学习总结​​
• ​​一、标量函数的雅克比函数​​
• ​​二、关于迹函数的性质​​

• ​​2.1 常用性质​​
• ​​2.2 迹函数的技巧​​

一、标量函数的雅克比函数

标量函数，其中 ，即向量的m个元素（）视作m个变量。根据式子：

能够得到以向量为自变量的标量函数的全微分表达式：

可以简记为：

其中：

上面的简记的式子又被成为微分法则的向量形式。
一个很重要的应用：
若令

则一阶微分可以写作迹函数形式：

二、关于迹函数的性质

2.1 常用性质

（1）【迹函数等于主对角线的和】性质：

（2）矩阵微分和它的导数也有一个转置的关系，不过在外面套了一个迹函数而已。由于标量的迹函数就是它本身，那么矩阵微分和向量微分可以统一表示，即：
（3）微分的迹：
（4）行列式微分：

2.2 迹函数的技巧

• 标量的迹等于自己：；转置则迹不变
• 交换律：，需要满足、同维度
• 加减法：
• 矩阵乘法和迹交换：，注意A，B，C的维度要相同