近期的工作过程中，需要对配对设计的数据进行非劣效检验，因为SAS中目前没有现成的模块可以使用，因此负责的同事查询了很多文献资料来进行参考，最后选定的是Tango法来计算置信区间，以实现非劣效检验。对同事提供的培训分享中的参考文献进行了比较粗浅的学习，在此记录分享一下。
1 示例导入
以下示例为对学龄前儿童进行了两次阅读障碍测试（Test A和Test B），其结果可分为两次测试都正确（Correct-Correct），Test A正确但Test B不正确（Correct-Incorrect），Test A不正确但Test B正确（Incorrect-Correct），两次测试均不正确（Incorrect-Incorrect）。
2 等效性检验：McNemar检验
来自相同观测样本或匹配配对样本的两个proportions是相关的（correlated）。McNemar's test（1947）常用于对两个相关的proportions进行等效性检验。
在上述示例中，零假设为Test A的检测正确率\(\pi_{1+}=[a+b]/n\)等于Test B的检测正确率\(\pi_{+1}=[a+c]/n\)。因为\(\pi_{11}\)是\(\pi_{1+}\)和\(\pi_{+1}\)的共同项，因此检验零假设\(\pi_{1+}-\pi_{+1}=0\)等价于检验\(\pi_{12}-\pi_{21}=0\)。零假设的McNemar检验统计量\(Q\)计算公式如下：
\[Q=\frac{(b-c)^2}{b+c} \]在零假设下，当\(b+c\)大于10时，\(Q\)统计量遵循自由度为1的近似卡方分布。
3 非劣效检验-置信区间的计算：Tango Confidence Interval
参考文献SAS® Macros CORR_P and TANGO: Interval Estimation for the Difference Between Correlated Proportions in Dependent Samples 中介绍的Tango's score confidence interval 来计算配对率差的置信区间。
Tango提出的两个相关的proportions的差值的置信区间是通过迭代求解以下两个方程来估计的，直到估计的变化值（change）在预先设定的cutoff值以下。
\[\frac{b-c-n\lambda}{\sqrt{n(2\hat{\pi}_{21})+\lambda(1-\lambda)}}=\pm{Z_{\alpha/2}}\ \ \ (1) \]\(\hat{\pi}_{21}\)的估计公式为：
\[\hat{\pi}_{21}=\frac{\sqrt{(B^2-4AC)-B}}{2A}\ \ \ (2) \]其中，\(A=2n\)，\(B=-b-c+(2n-b+c)\lambda\)，\(c=-c\lambda(1-\lambda)\)。
尽管Tango CI的计算过程比Wald和调整后的Wald区间更复杂，但上下限很容易通过割线法找到，具有经验上良好的覆盖概率( Improved confidence intervals for the difference between binomial proportions based on paired data by Robert G. Newcombe, Statistics in Medicine, 17, 2635-2650 (1998))，并且可以应用于具有非对角线零单元的小样本。
割线法原理可见百度：割线法_百度百科 (baidu.com)
根据公式(1)可知，要求置信区间，需先得到\(\lambda\)值，而\(\lambda\)值则可通过割线法求解得到。具体的程序实现可参考文献：SAS® Macros CORR_P and TANGO: Interval Estimation for the Difference Between Correlated Proportions in Dependent Samples ，此处也附上我自己参考文献程序理解后写的宏程序：
/*---Tango---*/
/*割线法*/
%MACRO secant(x0,x1,Z,out);
/*--------------------------------
x0:初始值1
x1:初始值2
Z:百分位数
--------------------------------*/
data &out;
/*迭代次数*/
iteration=1;
x0=&x0;
x1=&x1;
do until (abs(change)<0.000001);/*迭代停止条件*/
/*位点1函数值*/
lambda=x0;
AA=2*&n;
BB=-1*&b-&c+(2*&n-&b+&c)*lambda;
CC=-1*&c*lambda*(1-lambda);
q=(sqrt(BB**2-4*AA*CC)-BB)/(2*AA);
/*fx0分情况考虑:分母为0与分母不为0*/
if (&n*(2*q)+lambda*(1-lambda)>=0) then fx0=&b-&c-&n*lambda-&z*sqrt(&n*(2*q+lambda*(1-lambda)));
if (&n*(2*q)+lambda*(1-lambda)<0) then fx0=&b-&c-&n*lambda;
/*位点2函数值*/
lambda=x1;
AA=2*&n;
BB=-1*&b-&c+(2*&n-&b+&c)*lambda;
CC=-1*&c*lambda*(1-lambda);
q=(sqrt(BB**2-4*AA*CC)-BB)/(2*AA);
/*fx0分情况考虑:分母为0与分母不为0*/
if (&n*(2*q)+lambda*(1-lambda)>=0) then fx1=&b-&c-&n*lambda-&z*sqrt(&n*(2*q+lambda*(1-lambda)));
if (&n*(2*q)+lambda*(1-lambda)<0) then fx1=&b-&c-&n*lambda;
/*位点1与位点2的割线值*/
secant=(fx1-fx0)/(x1-x0);
/*迭代位点*/
x2=x1-(fx1/secant);
/*位点差值*/
change=x2-x1;
/*继续迭代*/
x0=x1;
x1=x2;
iteration=iteration+1;
end;
keep x1;
run;
%MEND secant;
/*TangoCI*/
%MACRO tangoci(indata,outdata,uid,row,col,level,alpha,format);
proc sql noprint;
select count(&uid) into : n from &indata;
select count(&uid) into : a from &indata where &row = &level and &col = &level;
select count(&uid) into : b from &indata where &row = &level and &col ne &level;
select count(&uid) into : c from &indata where &row ne &level and &col = &level;
select count(&uid) into : d from &indata where &row ne &level and &col ne &level;
select probit(1-&alpha/2) into : ZL from &indata;
select probit(&alpha/2) into : ZU from &indata;
quit;
/*调用割线法宏求置信区间上下限*/
%secant(-0.9999,0.9999,&zl,cll);
%secant(-0.9999,0.9999,&zu,clu);
data &outdata;
length dif $40. cll 8. clu 8. cl $40.;
merge cll(rename=(x1=cll)) clu(rename=(x1=clu));
dif=put((&b-&c)/&n,&format);
cl=cat("(",strip(put(cll,&format)),", ",strip(put(clu,&format)),")");
run;
/*清除过程所用数据集*/
proc datasets lib=work noprint;
delete cll clu;
quit;
%MEND tangoci;