舒伦提：
Solution:
答案是 \(k\) 取全体奇数 .
先把 \(n\) 表示成唯一分解形式 \(n=p_1^{\alpha_1}\dots p_m^{\alpha_m}\)，转化为：
\[\prod \frac{2\alpha_i+1}{\alpha_i+1}=k \]因为每个分数的分子是奇数，所以显然 \(k\) 一定是奇数 .
所以现在要试图构造一个奇数，显然要归纳 .
假设 \(\alpha_i=2^i(r\times 2^t-1)\)，其中 \(r\) 为奇数，然后可以发现 $\prod $ 里的东西都消掉了，得到：
\[\prod \frac{2\alpha_i+1}{\alpha_i+1}=\frac{r\times 2^t-1}{r}=k \]两边都乘上一个 \(r\)，因为 \(r\) 是奇数，因此就可以进行对 \(k\) 的归纳了 .
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