本蒟蒻也只能到入门的层次了
初步认识
什么是群？
我把它理解为 ： 一个运算系统
换句话说，一个群里面包含 ： 数 + 运算方法
例如，一个最好理解的群，由 整数加法 构成的一个群：
…… -2,-1,0,1,2,3,4 ……
它只包含整数，对这些整数只能进行加法运算
为方便表示，用 G 表示非空数集，用 · 表示运算
当然，不是什么数加上什么运算都能算得上是群的，不然那这个群岂不是毫无意义
所以对群有以下规定：
1. 封闭性
我们既然给群定义了这么一个数集 G，那它当然要包含使用这个群时会出现的每个数
也就是给群划定了一个范围，不管你怎么拨弄，都不会超出这个范围
即若 $ a \in G,b \in G,c=a·b $
那么一定有 $ c \in G $
拿整数加法集来试验
$ 1 \in Z,2 \in Z,3=1+2 $
$ 3 \in Z $ ，符合
2. 结合律
很好理解，$ a·(b·c)=a·b·c=(a·b)·c $
例如：$ 1+(2+3)=1+2+3=(1+2)+3 $
注意：不一定满足交换律, a · b 不一定等于 b · a
3. 单位元
正如其名，“ 单位 ” 表示它是这个群中最基础也最元老的数
用 e 表示
规定：$ e \in G,\forall a \in G,a·e=a $
也就是算了等于没算的那个数
在整数加法中，0 就是单位元，因为任何整数加 0 都等于它们自己
一个群里只有一个单位元吗？
假设有两个单位元，e1 和 e2
那么 $ e_1·e_2=e_1,e_1·e_2=e_2,e_1=e_2 $
所以只存在一个单位元
4. 逆元
想象一个箭头，从坐标原点出发指向外面，又有一个箭头接着前一个箭头反向连回到原点
（其实我就只是想说向量）
逆元就相当于那个反向的箭头，将一个数转回到原点（在群的概念中就是变成单位元）
对 A 来说，用 $ A^{-1} $ 表示 A 的逆元( 联想一下乘除法中，3的逆元就是3^(-1))
$ \forall A \in G,\exists A^{-1} \in G,A·A^{-1}=e $
同样地，在群里对于一个数，它只有一个逆元吗？
假设数 A 有两个逆元 $ A^{-1}_1, A^{-1}_2 $
$ ( A^{-1}_1 · A ) · A^{-1}_2 = e · A^{-1}_2 = A^{-1}_2 , A^{-1}_1·（A· A^{-1}_2）= e·A^{-1}_1 = A^{-1}_1 $
由结合律可知 $ ( A^{-1}_1 · A ) · A^{-1}_2 =A^{-1}_1·（A· A^{-1}_2） $
得到 $ A^{-1}_1 = A^{-1}_2 $ ，所以每个数只存在唯一对应的一个逆元
举个栗子：整数加法中，0 是单位元，对于每个整数，它的相反数就是它的逆元
$ 1 \in Z,-1 \in Z,1+(-1)=1-1=0=e \Rightarrow 1^{-1}=-1, (-1)^{-1}=1 $
同时也可以看出，逆元具有相互性
$ A^{-1}=B \Rightarrow B^{-1}=A $
基本的性质就是这些了，已经知道群是啥了，赶紧拿着定义去套一套马，看看能套住哪一匹
既然 整数加法 是群，那 整数乘法 呢？
- 封闭性： 任何两个整数乘起来也还是个整数对吧，满足！
- 结合律： a * b=b * a ，满足！
- 单位元： 1？ 1 * (-1)=-1 ，1 * 0 =0，1 * 2=2 , 1* 3=3 …… 满足！
- 逆元： 等等，找不到逆元啊？3 要乘几才能等于 1 呢？
看来这么一个直截了当的整数乘法不构成群！
看看往数集内加入小数，即把整数集 Z 扩充成实数集 R,能使它构成群吗？
2 *（1/2）=1 , 3 *（1/3）=1 …… 好像满足
但是 0 怎么办？ 0 乘任何数都等于 0，它不存在逆元，所以为了构成群，就应该把 0 排除在外
综上所述，不存在整数乘法群
但经过修修补补，可以发现 有理数乘法（数集为 {x|$ x \ne 0,x \in R $}）可以构成群
同时，也可以发现 有理数乘法群 和 有理数除法群 是等价的东西！妙哉妙哉