敬 请 期 待
\[\tan(n\theta)=[(\dfrac{1+\text i\tan\theta}{1-\text i\tan\theta})^{n-1}\cdot(\dfrac1{\tan\theta+\text i}+\dfrac{\text i}2)-\dfrac{\text i}2]^{-1}-\text i \\ \forall \theta, n\in\R \]还有这个
\(\boldsymbol{Derivative}\)
by djs. latest update: 2023.09.07
\(\textsf{Pre-Part | General Solution}\)
导数只是用来描绘分析函数的工具，所以导数题仍然只是科技下的函数题。函数是方程和不等式的中间产物，函数的零点是方程，函数的极值点是不等式。
【一般而言的导数题解题步骤】
- 得到函数，初步化简。（更好地求导？）或者先宏观分析
- 求导，得到（导函数不好处理怎么办？）
- 极值点
- 单调性
- 切线信息
- 利用导数 + 原函数特殊点获得原函数的信息
- 图像直观分析
- 应用于解题（两方面：方程向、不等式向）
- 剩下的就是：代数式处理技巧、方法使用技巧细化
导数不能解析函数，他所提供的都是函数的特殊性质，做不到像二次函数那样完全解析出来。所以做题依靠的也是特殊性质。
观察已有函数（死的函数）的性质（图像）是比较重要的，因为这样往往能发现突破点。结合图像，思考要证的结论如何产生，直观理解、直观证明后有助于做题。探路、整体宏观把控函数的性质和走向是发掘函数隐藏性质的重要手段。很多题往往都是先预判再证明，或者说，乱搞出来的。
\(\rm I\) 导数基础
\(\it 1.1\) 基本求导法则
【初等函数导数表】
| 原函数 | 导函数 |
|---|---|
| \(y=c\) | \(y'=0\) |
| \(y=x^a\) | \(y'=ax^{a-1}\) |
| \(y=a^x\) | \(y'=a^x\ln a\) |
| \(y=\log_ax\) | \(y'=\dfrac{1}{x\ln a}\) |
| \(y=\sin x\) | \(y'=\cos x\) |
| \(y=\cos x\) | \(y'=-\sin x\) |
| \(y=e^x\) | \(y'=e^x\) |
| \(y=\ln x\) | \(y'=\dfrac 1x\) |
| \(y=\sqrt x\) | \(y'=\dfrac{\sqrt x}{2x}\) |
| \(y=x\ln x\) | \(y'=1+\ln x\) |
| \(y=xe^x\) | \(y'=(x+1)e^x\) |
【求导法则】
- 加减 \([f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)\)
- 乘法 \([f(x)\cdot g(x)]'=f(x)\cdot g'(x)+f'(x)\cdot g(x)\)
- 除法 \([\dfrac{f(x)}{g(x)}]'=\dfrac{g(x)\cdot f'(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}\)
- 复合函数求导 \([f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x)\)
- 其他法则 \(\{[f(x)]^{g(x)}\}'=[f(x)]^{g(x)}\cdot [g'(x)\ln f(x)+g(x)\dfrac{f'(x)}{f(x)}]\)？？？
\(\it 1.2\) 洛必达法则
- \(\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)
- \(\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)
- \(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)
- 满足条件即可反复使用
注意事项
- 必须是 \(\dfrac00\) 或 \(\dfrac\infty\infty\)，否则会出错。
- 两函数相乘转化为相除。
- （结论）\(x\rightarrow \infty\) 时，变化快慢分等级：\(e^x>x^a>\ln x\)
\(\rm II\textsf{ General Tricks}\) 函数性质观察、代数性质、几何意义
\(\it 2.1\) 导数背景下代数式处理技巧
【对数单身狗、指数找朋友】
- 对于 \([f(x)\cdot \ln x]'=f(x)\cdot \dfrac1x+f'(x)\cdot\ln x\)，求导之后式子仍然含有 \(\ln x\)，不方便处理，故在将式子初步变形时可以考虑将 \(\ln x\) 孤立，使其作为函数的加减项，求导之后式子就不会含有 \(\ln x\)。【对数单身狗】
- 对于 \([f(x)\cdot e^x]'=[f(x)+f'(x)]\cdot e^x\)，此时对于导函数找零点、看正负时就不会再有 \(e^x\)，故若整个函数表现为 \(e^x\) 乘除另一个函数，那么该函数的导数性质就会较好。【指数找朋友】
- 这些操作的目的在于简化计算，避免多次求导
【指数对数的齐次观察】
- \(e^x\cdot e^y=e^{x+y}\)：指数乘除变加减
- \(\ln x+\ln y=\ln xy\)：对数加减变乘除
- 剩下的多项式部分就按照一般的齐次化流程操作即可。
【复杂指数取对数】
- 字面意思，也有复杂对数取指数的。
- 连乘取 \(\ln\) 变连加。
【三角函数】
- 碰到三角函数与指数对数混合，一定要分开（分组，或者画个图），因为三角函数的运算性质与指数对数一点关系没有。
- 可以适当考虑把三角函数放缩掉（遇到稍微难处理一点的基本都是放缩）。
多变量对称式：相互分离，构造函数。（还有齐次消元或主元）
\(\it 2.2\) 快速区分极大值极小值
- 如果函数能因式分解一定要因式分解（最优先）
- 观察函数的性质，宏观把控（单调性、图像分析、式子分块）
- 最常用的方法，一般是丁真法模拟附近函数的走向
- 放缩观察
- 二次求导判断零点处切线斜率（优先级较低）
- 隐零点观察
\(\it 2.3\) 函数作图
函数作图是宏观把控函数性质、观察放缩的重要途径。
【函数作图步骤】
- 基本：定义域、零点（如果能看出来）、大致判断单调性和增长趋势（分出数量级的差别），为的是建立直观感受。
- 基本：特殊点的值（如 \(0, 1, e\) 等等）、无穷远出的值、要用洛必达法则计算的点的值；其他一些特殊性质（对称性、周期性等）。
- 求导后：具体单调性、极值点、函数具体走向；特殊位置的切线。
- 进阶：利用二阶导研究函数凹凸性以及拐点。
- 二阶导决定原函数导数的性质，\(f''(x)>0\) 等价于原函数下凹。拐点即函数凹凸性发生变化的临界点，即 \(f''(x)=0\)
- 拐点处的切线是一种特殊的切线（一段原函数在切线下面另一端却在上面）。
【常用函数的图像信息】
- 见附录
\(\it 2.4\) 必要性探路
对于某些问题（如恒成立），我们可以带入特殊点的值进行探路计算，解出题目的一个必要条件，作为参数分类的标准或进行后续放缩。某些点带入后往往就是最终答案。
端点效应一般跟函数单调性和凹凸性有很大的关系，对单调性较好的函数使用必要性探路可能效果会更好。
【洛必达探路】
- 计算需要使用洛必达法则的点的取值。
- 常配合分离参数使用。
- 使用洛必达算出来的值很可能是正确答案。
【特殊点探路 - 端点效应】
- 带入函数定义域 \([a, b]\) 的端点进行计算。
- 带入特殊点进行计算。如 \(0, 1, e\)。
【注意事项】
- 某些点可能带出来的结果是 \(f(x_0)\ge g(x_0)\to0\ge 0\) 的形式，这个时候就需要进一步比较 \(f'(x_0)\) 和 \(g'(x_0)\) 的大小（可以反复比较下去）。
- 其实也就是分离参数后的洛必达探路。
警惕必要性探路失效！
\(\it 2.5\) 参数处理方向
- 最不利原则（主元）
- 本质是贪心。常常表现为主元。在自由度 \(>1\) 时使用。
- 将参数向“最不利”的方向放缩。
- 分离参数
- 对式子做变形，将参数分离出来，对剩下的式子作分析。
- 注意式子过于复杂时慎用。
- 求导，建立参数 - 极值点方程消元
- 求导后会得到一个关于参数 \(a\) 和原函数极值点 \(x_0\) 的等式。可以利用此方程消元或变换主元为 \(x_0\) 进行剩余的研究。
- 直接求导硬证
- 伴随繁杂的分类讨论，而且很多函数的极值点求不出来。慎用。
- 几何意义型
- 当参数单独出现或作为直线的斜率时，此时参数被赋予了较好的几何意义。结合图像分析。
\(\it 2.6\) 同构
精妙的解法。
\(\it 2.6.1\) 原理
同构，即将目标式 \(F(x)\) 通过变形化为若干个 \(f(g(x))\) 的形式，达到大大简化问题的效果。同构与直接展开代数式相反，是代数式逆向构造代数式的过程，糅合了构造思想，难度较大，故熟练掌握同构需要经验的积累。
\(\it 2.6.2\) 导数同构背景下的代数式观察
【指幂对幂】
- 当代数式同时出现指数部分和对数部分时，往往求导会很繁杂，而绝大部分的同构的原式都是指幂混合或对幂混合的。故出现指-幂-对-幂结构且出现相似代数式时可以考虑观察同构。
- 当只出现指数和对数而缺少幂函数时，可以根据情况考虑补充幂函数。指数对数同时出现时观察是否能够同构。
- 某一块式子反复出现时考虑同构。
【指对同构】
- 同构标志之一，常见形式为 \(e^x\) 乘除、\(\ln x\) 加减。即任意一个数都可以写成 \(x=e^{\ln x}=\ln(e^x)\)。
- \(A\cdot e^x \to e^{x+\ln A}\) 构造 \(x+\ln A\)，乘除变加减（\(\dfrac{e^x}{A}\) 同理）。
- \(A+\ln x \to \ln(e^Ax)\)，加减变乘除（减法同理）。
- \(e^{2x}=(e^x)^2\) 有幂次，不要被其表面形式骗了。
要么凑 \(f(g(x))\ge 0\)，要么凑 \(f(g(x))\ge f(h(x))\)。
\(\it 2.6.3\) 常见同构函数
- \(xe^x\to\ln x\cdot e^{\ln x}=x\ln x\)
- \(xe^x=e^{x+\ln x}\lrarr x+\ln x\)
- \(e^x+x\lrarr x+\ln x\)（经典指幂对幂，通常是两边 \(+x\) 得到的）
\(\rm III\) 含参恒成立问题
一类特殊的题型
\(\it 3.1\) 多变量含参恒成立问题 - 条件翻译
【恒成立条件翻译】
- 几何意义型
- 凹 / 凸函数：二阶导相关
- \(\forall x_1,x_2\in A, |f(x_1)-f(x_2)|\le t\quad\to\quad f_{\max}-f_{\min}\le t\) 类似情况
- \(\forall x_1\in A, \exist x_2\in B, f(x_1)\ge g(x_2)\quad\to\quad f_{\min}\ge g_{\min}\) 类似情况
- \(\forall x_1\in A, \exist x_2\in B, f(x_1)=g(x_2)\quad\to\quad\) \(f(x)\) 值域 \(\subseteq\) \(g(x)\) 值域 类似情况
- 一个细节：告诉最小值是多少 \(\lrArr\) 原式大于最小值且能取等。（方便操作）
\(\it 3.2\) 单变量恒成立问题方法体系
- 最先完成：必要性探路、端点效应、基本的不等式代数变形
- 优先级 \(\rm A\)：若端点效应成立（凭感觉和图像），则放缩参数值取等出，转化为不等式证明题。
- 优先级 \(\rm A\)：同构，能大大函数的分析问题（式子过于复杂时慎用）。
- 优先级 \(\rm B\)：对原函数进行代数变形后求导，建立参数 \(a\) 与导数零点（原函数极值点）\(x_0\) 的方程，消元变换主元为 \(x_0\) 研究新函数 \(F(x_0)\)（往往与上一个方法有异曲同工之妙）。
- 优先级 \(\rm C\)：对原函数进行代数变形后求导，分类讨论参数的取值，进行求解。
\(\rm IV\ \star\) 方程与零点
函数的零点是方程。
\(\it 4.1\) 方程相关 \(\textsf{General Solution}\)
函数和方程是什么关系？函数本质上是动态的单个代数式，函数的零点（或两函数交点）就是方程的根。所以，面对超越函数的不可解式子时，我们可以尝试运用函数的特点（单调性）获得方程的根的一些信息。
方程优于函数的一点就是可以在等号两边自由变换。
当你列出变量之间的关系式或方程组时，你应当意识到，你在解方程。
总而言之，导数背景下的方程（组）都是走的消元路线，多个元通过复杂的带指数对数的式子相等是没法处理的。
【主要 gs】
- 挑简单的变量消元，变换问题的主元。
- 可以利用已知的等式，在各元素之间进行等价代换，简化式子的形式（我称之为 形式变换 | 消元）。
- 方程组之间可以通过互相加减乘除、联立整体变换创造新的方程，是列式消元的重要途径。常用的方程组变换有加减配合、乘除配合等等。
- 消元完毕留下的元可能不是原来的 \(x_1\) 或 \(x_2\)，很有可能是差值 \(x_2-x_1\) 或比值 \(\dfrac{x_2}{x_1}\) 等等。
- 证明方程根相关不等式可能需要配合放缩。
- 注意！一个方程组无法做到消元（仍是超越方程）时尽量做到变量的分离（即 \(g(k)=f(x)\) 的形式），考虑单调性。
\(\it 4.2\) 隐零点相关
\(\it 4.2\) 【底层】导数零点处理 | 隐零点代换
得到导函数后，我们需要解出其零点。导函数的零点解不出来也猜不出来怎么办？隐零点即将零点设为 \(x_0\)，带入原式整体代换使用。本质是将零点的信息隐藏在一个方程中。
隐零点属于“方程”范畴的技巧，将一个具体的 \(x_0\) 的值替换成一个方程使用。注意多变量零点等式（处理含参函数）时的消元作用（隐零点代换）。
【隐零点放缩】
- 对于一些求不出来的零点，我们可以求出零点大致的范围，然后赋予该零点一定的自由度（同时代换），以此证明一些并不卡死的不等式。
- 代换方向：超越函数 \(\to\) 多项式函数
【隐零点代换】
- 对于含参的导数求导之后得到的零点的方程，我们可以借助这个方程变换主元，将主元变成根的位置 \(x_0\)，然后将所有的 \(a\) 替换成 \(x_0\) 求解。属于消元的范畴。（可以发现这样自由度居然是对的）
注意是否可以将问题转化为其他问题从而不需要导数的零点。
\(\it 4.3\) 基本零点问题
【定量分析】
- 如果能解析一个方程零点，那么一定是因式分解 / 求导。
- 分离参数：转化为定函数与水平直线的交点问题。
【定性分析】
- 题型：一般是问有几个零点，证明一些基础的零点相关的不等式。
- 零点存在性定理：用函数单调性判断零点存在
- 方法体系
- 分离参数，转化为定函数与水平直线的交点问题（或动直线）
- 分析函数，求导根据单调性画图像，结合特殊点分析，运用单调性和零点存在定理（常常需要分段和放缩）。
\(\it 4.4\) 极 值 点 偏 移
大 的 要 来 辣 ！
\(\it 4.4.1\) 极值点 py 的本质
顾名思义，极值点偏移就是在函数的一段区间内（端点的函数值相等）有一个极值点，在该极值点两侧函数切线斜率变化速率不一样，导致了极值点偏离区间中点。
极值点偏移题型标准形式：给出一个函数（含参），求证一个零点不等式。（类似的还有中点导数等等）
【瞎扯】
- 见附录【瞎扯环节】
\(\it 4.4.2\) 极值点偏移 \(\textsf{General Solution}\)
极值点偏移主要有两种方法体系：拆分构造函数；零点方程组代数消元
两种方法的优先级（待定）：
- 函数越复杂，待证式越简单，拆分构造函数越优先。
- 函数越简单，待证式越复杂，代数消元越优先。
\(\it 4.4.3\) 拆分构造
适用于待证式较简单时，例如：
- \(x_1+x_2>A\)
- \(x_1x_2>B\)
- \(x_1+x_2>f(a)\)
一般转化为 \(x_1>\dfrac{f(a)}{x_2}\)，确保 \(x_1\) 和 \(\dfrac{f(a)}{x_2}\) 两点在原函数的同一单调区间中，转化为 \(0=F(x_1)>F(\dfrac{f(a)}{x_2})\)，构造新的函数证明不等式（注意单调性，一般是单调的）。
注意不要忽略 \(f(x_1)=0\) 这类条件，有可能可以利用其等式消去参数。若待证式中有参数 \(a\) 出现且式子复杂（主要是那种令人匪夷所思的情况），则需要考虑根据具体情况适当拟合和放缩。
\(\it 4.4.4\) 代数消元
4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.4.
指将零点的全部信息包含在方程组 \(\begin{cases}f(x_1)=0\\f(x_2)=0\end{cases}\) 中（此时自由度为 \(1\)），用特有的方法消元。
- 构造方程组 \(\begin{cases}f(x_1)=0\\f(x_2)=0\end{cases}\)（含有参数）。
- 通过方程组变换（加减乘除，一般 \(e^x\) 相关是差值换元，方程组加减；\(\ln x\) 相关是比值换元，方程组乘除）消去参数的值。若实在不能消去可以考虑分离变量，研究其单调性。
- 设出最终形式的元（例如差值换元就设 \(k=x_2-x_1\)，比值换元就设 \(k=\dfrac{x_2}{x_1}\)），将 \(x_2\) 代换为 \(k\) 值，将消掉的参数带入待证式，确保得到一个新函数 \(g(k)\)，进而研究新函数 \(g(k)\) 的性质。
- 需要配合一些不等式使用（构出新函数 \(g(k)\) 的时候其实已经转为不等式问题了）。
【极值点偏移常用不等式】
- 见附录
\(\rm V\ \star\) 不等式证明
函数的极值是不等式。你猜他为什么压轴出场？
\(\rm VI\) 特殊题型：构造函数
\(\rm VII\) 其他题型分类 | 常用技巧
\(\it N\) 附录
\(\it N.1\) 图像信息
【特殊结论】
- \(x\to -\infin\) 时，\(e^x\) 相比 \(-\dfrac{1}{x}\) 更接近于 \(x\) 轴。同理 \(\ln x\) 相比 \(-\dfrac{1}{x}\) 更接近于 \(y\) 轴。
- \(e^x\) 和 \(\ln x\) 的图像关于 \(y=x\) 对称。
- 在函数 \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\) 中，\(f(2)=f(4)\)。
【常用函数图像和不等式可视化】
- \(x\ln x, \dfrac{x}{\ln x}, \dfrac{\ln x}{x}, xe^x, \dfrac{x}{e^x}, \dfrac{e^x}{x}\)
- \(\ln x\le x-1, e^x\ge x+1\)
- \(\dfrac{\ln x}{x+1}<\dfrac{x-1}{2}\lrArr 2\ln x<x^2-1\)
- \(\dfrac{x}{x+1}\le \ln(x+1)\le x\)
- \(\begin{cases}\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1}(x>1)\\\ln x<\dfrac{2(x-1)}{x+1}(0<x<1)\end{cases}\)
- \(\begin{cases}x-\dfrac{1}{x}<2\ln x(0<x<1)\\x-\dfrac{1}{x}>2\ln x(x>1)\end{cases}\)
\(\it N.2\) 常用估算值
\(\it N.3\) 补充说明
【\(\it 4.4.1\)】
- 由此可以 yy 出一个比较逆天的解法：
- 对于一个标准的极值点左偏形式，\(f(x_1)=f(x_2)\)，函数下凹，极值点 \(x_0\)，欲证明 \(x_1+x_2>2x_0\)。
- 众所周知根据导数的基本定义 \(f'(x)=\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\) 有 \(f(x_2)-f(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}f'(x)\cdot\text dx\)，即导函数曲线下面积！
- 而一般原函数凹凸性质会比较好，那么我们就可以证明面积相等时左侧的 \(\Delta x\) 小于右侧的 \(\Delta x\)（或者是相等的 \(\Delta x\) 不同的曲线下面积）。
【\(\it 4.4.4\)】
- 常用极值点偏移不等式：
- 对数均值不等式 \(\sqrt{xy}<\dfrac{x-y}{\ln x-\ln y}<\dfrac{x+y}{2}\)
- \(\dfrac{2(x-y)}{x+y}\le \ln x-\ln y\le\sqrt{\dfrac xy}-\sqrt{\dfrac yx}\)
“探路”
“探路”指引方法体系的使用
三角函数基本没有很好的性质，一般是放缩
\(x-\sin x>0\)
导数题 \(n\) 管齐下
标签：4.4,函数,导数,ln,dfrac,求导,零点 From： https://www.cnblogs.com/Doge297778/p/derivative.html