AcWing 4. 多重背包问题

题目

有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包。

第 $i$ 种物品最多有 $s_i$ 件，每件体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。 输出最大价值。

输入格式 第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $v_i,w_i,s_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积、价值和数量。

输出格式 输出一个整数，表示最大价值。

数据范围 $0<N,V≤100$ $0<v_i,w_i,s_i≤100$

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

思路

本题数据范围并不大，可以用朴素算法来实现。

状态表示 -- 集合
	-- 属性
状态计算：
	当遍历到物品i时，存在取0,1,...,s，共s种取法
	0: f[i][j] = f[i - 1][j]
	1: f[i][j] = f[i - 1][j - v] + w
	...
	s: f[i][j] = f[i - 1][j - sv] + sw
	
	f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v] + w, ... , f[i - 1][j - sv] + sw)
这时朴素算法已现雏形。

代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int f[N][N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        
        for (int j = 0; j <= m; j ++ )
            for (int k = 0; k <= s; k ++ )
            {
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]);
                
                if (j >= k * v)
                    f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v] + k * w);
            }
    }
    
    cout << f[n][m] << endl;
    
    return 0;
}