AcWing 3. 完全背包问题

题目

有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i$ 种物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。 输出最大价值。

输入格式 第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积和价值。

输出格式 输出一个整数，表示最大价值。

数据范围 $0<N,V≤1000$

$0<v_i,w_i≤1000$ 输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

10

思路

状态表示 -- 集合：只从前i个物品中选，总体积不超过j的集合
	-- 属性：最大值
状态计算：当遍历到第i个物品时，存在取0、1、2、...、k、...多种选法
	0: f[i][j] = f[i - 1][j]
	1: f[i][j] = f[i - 1][j - v] + w
	2: f[i][j] = f[i - 1][j - 2v] + 2w
	...
	k: f[i][j] = f[i - 1][j - kv] + kw

按以上思路，朴素算法：三重循环取 $max$ 即可，但朴素算法大概率超时。

这时我们不难得出： $f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v] + w, ... , f[i - 1][j - kv] + kw)$ $f[i][j - v] = max(f[i - 1][j - v], f[i - 1][j - 2v] + w, ... , f[i - 1][j - (k + 1)v] + kw)$ --> $f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - v])$ 该公式可以拜托对 $k$ 的依赖，从而优化到二重循环。

之后可以将数组优化至一维，与01背包优化思路类似，不过此时正序遍历体积满足公式。

代码

1. 朴素算法，大概率超时

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int f[N][N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for (int j = 0; j <= m; j ++ )
            for (int k = 0; k <= j / v; k ++ )
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v] + k * w);
    }
    
    cout << f[n][m] << endl;
    
    return 0;
}

2. 优化至二重循环

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int f[N][N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for (int j = 0; j <= m; j ++ )
        {
            f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]);
            if (j >= v)
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v] + w);
        }
    }
    
    cout << f[n][m] << endl;
    
    return 0;
}

3. 优化数组至一维

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int f[N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for (int j = v; j <= m; j ++ )
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
    }
    
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}