AcWing 2. 01背包问题

题目

有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包。每件物品只能使用一次。

第 $i$ 件物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。 输出最大价值。

输入格式 第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 件物品的体积和价值。

输出格式 输出一个整数，表示最大价值。

数据范围 $0<N,V≤1000$ $0<v_i,w_i≤1000$ 输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

思路

状态表示：从前i个物品取且体积不超过j的价值的最大值 状态属性：最大值 状态计算：

对于第i个物品，存在两个选择，取或者不取
不取：f[i][j] = f[i- 1][j]
取：f[i][j] = f[i - 1][j - v] + w 

通过以上思路两重循环遍历物品与体积，得到朴素算法。

接下来可以将数组优化成一维，部分代码如下

for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
    cin >> v >> w;
    for (int j = 0; j <= m; j ++ )  --> 1. for (int j = m; j >= v; j -- )
    {
        f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]); --> 2. f[j] = max(f[j], f[j])
        
        if (j >= v)
            f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v] + w);  --> 3. f[j] = max(f[j], f[j - v] + w)
    }
}

关键的一点，为什么逆序遍历可以优化到一维？ j - v < j 当我们优化到一维且正序遍历体积时，f[j - v] 优先被计算，后续再更新到 f[j] 时，此时的f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v] + w)，与预期的公式不符，而逆序遍历体积恰好能解决这个问题，使得计算 f[j] 时，f[j - v] 仍是 f[i - 1][j - v]。

代码

1. 朴素算法

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v, w;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    f[0][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        cin >> v >> w;
        for (int j = 0; j <= m; j ++ )
        {
            f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j]);
            
            if (j >= v)
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v] + w);
        }
    }
    
    cout << f[n][m] << endl;
    
    return 0;
}

2. 优化成一维

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v, w;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        cin >> v >> w;
        for (int j = m; j >= v; j -- )
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
    }
    
    cout << f[m] << endl;
    
    return 0;
}