数论中一个有趣的小结论

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对于任意奇质数 \(p\)，对于任意整数 \(k < p-1\)，有 $ p|\sum_{i=1}^{p-1}ik$

证明：

取 \(p\) 的原根 \(g\)，由简化剩余系的性质知：

在 \(\mod p\) 意义下，有

\[\{g, 2g,\cdots, (p-1)g\} = \{1, 2, \cdots, p-1\} \]

于是

\[\sum_{i = 1}^{p-1}i^k \equiv \sum_{i=1}^{p-1}(gi)^k\equiv g^k\sum_{i=1}^{p-1}i^k\pmod p \]

又 \(k<{p-1}\implies g^k\not\equiv 1\pmod p\)

即证 \(p|\sum_{i=1}^{p-1}i^k\)

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