参考: 李宏毅老师课件
PPO = Policy Gradient 从 On-policy 到 Off-policy, 再加一些constraint
Policy Gradient
Basic Conception
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Actor: 动作执行者(智能体)
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Env: 环境
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Reward Function: 奖励函数
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Policy \(\pi\) : a network with parameter \(\theta\).
Input: 当前的 Env.
Output: actor 要采取的下一个 action 的分布.
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Trajectory \(\tau\): 一系列的 Env 和 Action, \(\set{s_1,a_1,s_2,a_2, \dots}\)
在参数为 \(\theta\) 情况下, 发生\(\tau\)的概率: \(p_{\theta}(\tau)=p(s_1)p_{\theta}(a_1|s_1)p(s_2|s_1,a_1)p_{\theta}(a_2|s_2)\cdots\)
Optimization
Object
给定 \(\tau\), 可以计算 \(\tau\) 的 reward, \({R(\tau)}\).
对于参数为 \(\theta\) 的 Policy下, Trajectory \(\tau\) 是采样得到的, 因此实际上需要计算的是 reward 的期望值\(\overline{R_\theta}\). 我们希望 \(\overline{R_\theta}\) 越大越好.
Policy Gradient
Reward 的期望:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \overline{R_\theta}=\sum_\tau R(\tau)p_\theta(\tau) \end{aligned} \end{equation} \]求 \(\theta\) 的梯度:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \nabla \overline R_\theta &= \sum_\tau R(\tau)\nabla p_\theta(\tau) \\ &=\sum_\tau R(\tau) p_\theta(\tau) \frac{\nabla p_\theta(\tau)}{p_\theta(\tau)}\quad &&\text{分子分母同乘} p_\theta(\tau)\\ &=\sum_\tau R(\tau) p_\theta(\tau) {\nabla \log p_\theta(\tau)}\\ &=E_{\tau\sim p_\theta(\tau)}[R(\tau)\nabla \log p_\theta(\tau)]\\ &\approx \frac 1 N \sum_{n=1}^{N} R(\tau^n)\nabla \log p_\theta(\tau^n)\\ &= \frac 1 N \sum_{n=1}^{N} \sum_{t=1}^{T_n} R(\tau^n)\nabla \log p_\theta(a^n_t|s^n_t) \end{aligned} \end{equation} \]然后由 \(\nabla \log p_\theta(\tau)=\frac{\nabla p_\theta(\tau)}{p_\theta(\tau)}\), 可得到第三行公式.
此处可延伸出一个公式:
由\(\sum_\tau p_\theta(\tau)f(\tau)=E_{\tau\sim p_\theta(\tau)}[f(\tau)]\), 可得第四行
通过采样的方式估计期望值, 采样 \(N\) 个 Trajectory, 既第五行公式
最后将 \(p_\theta(\tau)\) 展开代入, 得第六行公式
Implementation
最大化 Reward 的期望 \(\overline{R_\theta}\), 由公式(2)中梯度的计算, 可以反推出目标函数在实现时定义如下:
\[\begin{equation} \begin{aligned} J(\theta) = \frac 1 N \sum_{n=1}^{N} \sum_{t=1}^{T_n} R(\tau^n) \log p_\theta(a^n_t|s^n_t) \end{aligned} \end{equation} \]最大化 \(object\) 等价于最小化 \(loss\):
\[\begin{equation} \begin{aligned} loss = -\frac 1 N \sum_{n=1}^{N} \sum_{t=1}^{T_n} R(\tau^n) \log p_\theta(a^n_t|s^n_t) \end{aligned} \end{equation} \]其中, \(a^n_t, s^n_t\) 是在参数为 \(\theta\) 的 policy 下采样得到的.
与交叉熵损失对比: 其实就是将采样得到的 \(a^n_t\) 视作grand truth计算交叉熵, 区别在于针对不同的 Trajectory \(\tau^n\), 要多乘了一个 \(R(\tau^n)\)
Tips
Add a baseline
\(R(\tau^n)\) 可能总为正数, 这样在 training时, 相当于告诉 model, 不论时什么action 都要将它的概率提升.
理想情况下, 这样是没有问题的, 因为 Reward 即使总是正的, 也有大有小.
当时实际上, action 是采样得到的, 这会导致如果有的 action 没有被采样到, 它的概率相对于被采样到的 action 就会下降, 而这时, 并不能表示当前环境下采取这个 action 不好.
改进: 减去一个 baseline, \(b\).
Assign Suitable Credit
再来看一下目标函数:
对于同一个 Trajectory \(\tau\) 中, 针对每个状态 \(s\) 下, 执行 动作 \(a\), 都有相同的 Reward 系数. 这是不合理的.
例如图的左边, 在 \(s_b\) 执行 \(a_2\) 不是一个好的选择, 他会导致接下来进入 \(s_c\), 并执行 \(a_3\), 得到 -2 分.
由此, 提出改进1.
改进1: 每个时刻的 reward 改为, 当前时刻到结束时刻的 reward 的总和
某时刻的 action, 经过越长时间, 它的影响力就越小. 也就是与该 action 间隔很久的 reward 与该 action 的关系很小. 由此提出改进2.
改进2: 加一个衰减系数.
最后, 将整个系数项称为 Advantage Function, \(A^\theta(s_t, a_t)\).其含义为, 在某 state 下, \(a_t\) 相较于其他的 action, 有多好. (这个 \(A\), 通常可以是用一个网络来预测的 ???)
最终, 得梯度公式:
\[\begin{equation} \nabla \overline R_\theta \approx \frac 1 N \sum_{n=1}^{N} \sum_{t=1}^{T_n} A^\theta(s_t, a_t) \nabla\log p_\theta(a^n_t|s^n_t) \end{equation} \]On-policy \(\rightarrow\) Off-policy
On-policy
梯度计算公式:
\[\begin{equation} \nabla \overline R_\theta =E_{\tau\sim p_\theta(\tau)}[R(\tau)\nabla \log p_\theta(\tau)]\\ \end{equation} \]目前为止的做法其实是一种 on-policy 的方法:
- 每次更新梯度前, 都需要从 \(\pi_\theta\) 中采样 \(\tau\).
- 参数更新后, 又需要用更新后的参数重新采样 \(\tau\).
目标是: 从另一个 policy, \(\pi_{\theta'}\) 中采样数据, 用来训练 \(\pi_\theta\). 这样就可以重复利用这些采样得到的数据.
Importance Sampling(重要性采样)
\(x\) 服从 \(p\) 分布时, 计算 \(f(x)\) 期望 \(E_{x\sim p}[f(x)]\) 的做法: 一般是从 \(p\) 中采样一些 \(x\), 带入 \(f(x)\) 求平均, 用这个值来估计所求期望.
现在, 假设无法从 \(p\) 中直接采样 \(x\), 但可以从另一个分布 \(q\) 中采样 \(x\). 可以对 \(E_{x\sim p}[f(x)]\) 做如下变形:
\[\begin{equation} \begin{aligned} E_{x\sim p}[f(x)] &= \int f(x)p(x) \, dx\\ &=\int f(x)\frac{p(x)}{q(x)}q(x) \, dx\\ &= E_{x\sim q}[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}] \end{aligned} \end{equation} \]这样, 我们就可以用 \(q\) 中采样的数据来估计期望值 \(E_{x\sim p}[f(x)]\). 这就是 Importance Sampling.
Issue of Importance Sampling
理论上, 我们已经得出两个期望值是相等的:
那么它们的方差是否相等呢? \(Var_{x\sim p}[f(x)] == Var_{x\sim q}[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}] ?\)
由公式
\[\begin{equation} Var[x] = E[x^2]-(E[x])^2 \end{equation} \]可以得出:
\[\begin{equation} \begin{aligned} Var_{x\sim p}[f(x)]&=E_{x\sim p}[f^2(x)]-(E_{x\sim p}[f(x)])^2\\ Var_{x\sim q}[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}] &=E_{x\sim q}[(f(x)\frac{p(x)}{q(x)})^2]-(E_{x\sim q}[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}])^2\\ &=\int (f(x)\frac{p(x)}{q(x)})^2q(x) \, dx - (E_{x\sim p}[f(x)])^2\\ &=\int f^2(x)\frac{p(x)}{q(x)}p(x) \, dx - (E_{x\sim p}[f(x)])^2\\ &=E_{x\sim p}[f^2(x)\frac{p(x)}{q(x)}]-(E_{x\sim p}[f(x)])^2 \end{aligned} \end{equation} \]对比发现, 第一项中后者比前者多乘了一个 \(\frac{p(x)}{q(x)}\), 也就是说当 \(p\) 与 \(q\) 相差很多时, 它们的方差也会差很多.
这样就会出现一问题: 理论上, 无论 \(p,q\) 的分布是什么样的, 当我们从 \(p\) 和 \(q\) 采样足够多次时, 是可以得到 \(E_{x\sim p}[f(x)] = E_{x\sim q}[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}]\) 的.
但是当 \(p,q\) 差距过大, 而我们采样的次数又不够多时, 因为它们之间的方差差距很大, 所以最后很可能导致期望差距很大.
一个直观的例子:
图中 \(p,q\)两个分布的差异很大.
当我们采样次数不够多, 导致没有采样到最左边那个样本时, 就会出现实际上 \(E_{x\sim p}[f(x)]\) 应是一个负值, 但我们用 \(E_{x\sim q}[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}]\) 计算出来的却是一个正值.
而当我们采样到最左边那个样本时, 因为此时 \(\frac{p(x)}{q(x)}\) 的值将会非常大, 所以可以把 \(E_{x\sim q}[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}]\) 拉回负值.
Off-policy
将 Importance Sampling 用在 policy gradient 中, 我们就可以得到:
\[\begin{equation} \begin{aligned} \nabla \overline R_\theta &=E_{\tau\sim p_\theta(\tau)}[R(\tau)\nabla \log p_\theta(\tau)]\\ &=E_{\tau\sim p_{\theta'}(\tau)}[\frac{p_{\theta}(\tau)}{p_{\theta'}(\tau)}R(\tau)\nabla \log p_\theta(\tau)] \end{aligned} \end{equation} \]这样, 我们就可以从 \(\theta'\) 中采样数据, 然后多次利用这些数据来更新 \(\theta\).
结合公式(7), 得
\[\begin{equation} \begin{aligned} \nabla \overline R_\theta &=E_{\tau\sim p_{\theta'}(\tau)}[\frac{p_{\theta}(\tau)}{p_{\theta'}(\tau)}R(\tau)\nabla \log p_\theta(\tau)]\\ &=E_{(s_t,a_t)\sim\pi_{\theta'}}[\frac{p_\theta(s_t, a_t)}{p_{\theta'}(s_t, a_t)}A^{\theta'}(s_t, a_t) \nabla\log p_\theta(a^n_t|s^n_t)]\quad &&\text{由公式(7)得}\\ &=E_{(s_t,a_t)\sim\pi_{\theta'}}[\frac{p_\theta(a_t|s_t)p_\theta(s_t)}{p_{\theta'}(a_t|s_t)p_{\theta'}(s_t)}A^{\theta'}(s_t, a_t) \nabla\log p_\theta(a^n_t|s^n_t)]\\ &=E_{(s_t,a_t)\sim\pi_{\theta'}}[\frac{p_\theta(a_t|s_t)}{p_{\theta'}(a_t|s_t)}A^{\theta'}(s_t, a_t) \nabla\log p_\theta(a^n_t|s^n_t)]\quad &&\text{假设}p_\theta(s_t)=p_{\theta'}(s_t)\\ \end{aligned} \end{equation} \]再由公式(3)得:
\[\begin{equation} \nabla \overline R_\theta=E_{(s_t,a_t)\sim\pi_{\theta'}}[\frac{\nabla p_\theta(a_t|s_t)}{p_{\theta'}(a_t|s_t)}A^{\theta'}(s_t, a_t)] \end{equation} \]反推目标函数:
\[\begin{equation} J^{\theta'}(\theta)=E_{(s_t,a_t)\sim\pi_{\theta'}}[\frac{p_\theta(a_t|s_t)}{p_{\theta'}(a_t|s_t)}A^{\theta'}(s_t, a_t)] \end{equation} \]Add constraint
目前为止, 我们利用 Importance Sampling 完成了 Policy Gradient 从 On-policy 到 Off-policy 的优化.
但是 Importance Sampling 在实际应用中有一个不得不考虑的限制, 就是我们无法保证能采样足够多的数据, 这时当两个分布 \(p_\theta, p_{\theta'}\)差异过大时, 难以保证期望相等.
PPO做的事情, 简单说就是, 限制两个分布 \(p_\theta, p_{\theta'}\) 不能差太多.
\[\begin{equation} J_{PPO}^{\theta'}(\theta)=J^{\theta'}(\theta)-\beta KL(\theta, \theta') \end{equation} \]注: 此处 KL 散度指的不是将两个模型的参数看作分布,拉近两个模型的参数的距离. 而是两个模型行为上的距离, 就是当两个模型输入同样的 state 时, 希望输出的 action 的分布尽可能像
Conclusion
PPO algorithm
PPO2
PPO2: 简化 PPO 的计算.
首先, 我们将横坐标 \(x\) 设为 \(\frac{p_\theta(a_t|s_t)}{p_{\theta^k}(a_t|s_t)}\), 则函数 \(y=x\) 与 \(y=clip(x, 1-\epsilon, 1+\epsilon)\) 的图像分别为图中的绿线和蓝线.
- 当 \(A>0\) 时, \(J_{PPO2}^{\theta^k}(\theta)\) 就是左图中红线, 我们要最大化目标函数, 也就希望 \(x\) 越大越好, 但是当超过 \(1+\epsilon\) 后, 对目标函数就没有 benefit 了.
- 当 \(A<0\) 时, 同理, 如右图.
目的依旧是保证两个分布 \(p_\theta, p_{\theta^k}\) 差距不能过大.
Experiment
