5.\(\mathscr{S}\)上的傅里叶变换
5.1.Schwartz函数空间\(\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\).
定义1:
设\(\varphi\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n)\)，如果对任意非负多重指标\(\alpha,p\)都有：
在\(\mathbb{R}^n\)上是有界的.称这样的函数为速降函数，由速降函数构成的线性空间称为速降函数空间或者Schwartz空间,记为\(\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\).
关于Schwartz空间有以下的等价条件:
定理2: 速降函数的条件与下列两条件之一等价:
(1) 对任意重指标 \(\alpha, p\), 函数 \(x^\alpha \partial^p \varphi(x)\) 在 \(\mathbb{R}^n\) 上有界;
(2) 对任意正整数 \(k\) 与重指标 \(p\), 函数 \(\left(1+|x|^2\right)^k \partial^p \varphi(x)\) 在 \(\mathbb{R}^n\) 上有界.
证明:
eq 1$\Rightarrow $(1)是显然的.
(1)\(\Rightarrow (2)\):首先注意到:
当\(|x|>1\)时：
而在\(|x|\le 1\)时\(\left(1+|x|^2\right)^k \partial^p \varphi(x)\)有界,故\(\Rightarrow (2)\)得证.
(2)$\Rightarrow $(3):
\[x^{\alpha}\partial^{p}\varphi(x)=\frac{1}{|x|^2}\sum_{i=1}^{n}x_i^2x^{\alpha}\partial^p \varphi(x) \]由于后者是有界的,故当\(|x|\to \infty\)时,(eq 1)是成立的.
容易看出,如果\(f,g\in \mathscr{S},\)则\(fg\in \mathscr{S}\).如果\(f(x)\)是一多项式,\(g\in \mathscr{S}\),那么:\(fg\in \mathscr{S}\).设\(\alpha\)为任意的多重指标,\(f\in \mathscr{S}\),则\(\partial^{\alpha}(f)\in \mathscr{S}\).
现在用如下的收敛性来规定空间\(\mathscr{S}\)上:
定义3:
设\(f_k,f\in \mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\),称\(f_k\)在\(\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\)中收敛到\(f\)是指,对任意的多重指标\(\alpha,\beta\)都有:
5.2.\(\mathscr{S}\)上的傅里叶变换
定义4:
设\(f\in \mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\),称:
为\(f\)的傅里叶变换.我们常用\(\mathcal{F}\)来表示傅里叶变换.
注: 首先我们先说明定义的合理性.由于:
\[\left|\int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-i x \cdot \xi} \mathbb{d} x\right| \leq\|f\|_1 \]因此\(\hat{f}\)和\(\check{f}\)有明确的定义.更一般的,我们可以看出如果\(f\in L^1(\mathbb{R}^n)\),那么上述的定义也是合理的.因此在\(L^1(\mathbb{R}^n)\)上我们也可以定义如(eq 2)的傅里叶变换\(\color{red}{以后我们总承认这一点.}.\)
例5:[Gauss函数的傅里叶变换]
证明\(\mathcal{F}(e^{-|x|^2/2})=e^{-|\zeta|^2/2}\).
首先我们在此回顾几个算子:
- 平移算子:\(\tau_y f(x)=f(x-y)\);
- 伸缩算子:\(\delta_a f(x)=f(ax)\);
- 反射算子:\(\tilde{f}(x)=f(-x)\).
下边我们来看一下傅里叶变换的性质.这里我们针对更一般的\(L^1(\mathbb{R}^n)\)中的函数来证明
定理6:
性质:
-
若 \(f \in L^1\left(\mathbb{R}^n\right)\), 则 \(\|\hat{f}\|_{\infty} \leqslant (2\pi)^{-n/2}\|f\|_1\);
-
若 \(f \in L^1\left(\mathbb{R}^n\right)\), 则 \(\widehat{f}\) 在 \(\mathbb{R}^n\) 中一致连续;
-
(Riemann-Lebesgue 引理) 若 \(f \in L^1\left(\mathbb{R}^n\right)\), 则
4.若 \(f \in L^1\left(\mathbb{R}^n\right)\), 则 \(\widehat{\tau_h f}(\xi)=e^{- i h \cdot \xi} \widehat{f}(\xi), \quad \tau_h \widehat{f}(\xi)=\left(e^{ i h \cdot x} f(x)\right)^{\hat{}}(\xi)\) 以 及 \(\widehat{\delta_a f}(\xi)=a^{-n} \widehat{f}\left(a^{-1} \xi\right)\)
5.若 \(f\) 与 \(x_k f\) 都属于 \(L^1\left(\mathbb{R}^n\right)\), 则
\[ \frac{\partial \widehat{f}(\xi)}{\partial \xi_k}=\widehat{\left(- i x_k f(x)\right)}(\xi), \]若 \(f\) 与 \(\frac{\partial f}{\partial x_k}\) 都属于 \(L^1\left(\mathbb{R}^n\right)\), 则
\[ \left.\widehat{\left(\frac{\partial f}{\partial x_k}\right.}\right)(\xi)= i \xi_k \widehat{f}(\xi) ; \]更一般的:
\[\widehat{\partial^{\alpha}f}(\xi)=(i\xi)^{\alpha}\hat{f}(\xi); (\partial^{\alpha}\hat{f})(\xi)=\widehat{(-ix)^{\alpha}f(x)}(\xi) \]6.若 \(f, g \in L^1\left(\mathbb{R}^n\right)\), 则 \(\widehat{f * g}(\xi)=(2\pi)^{n/2}\widehat{f}(\xi) \cdot \widehat{g}(\xi),\mathcal{F}(f\cdot g)=\mathcal{F}(f)* \mathcal{F}(g)\).
7.如果\(f,g\in L^1(\mathbb{R}^n)\),那么\(\int \hat{f}g\mathrm{d}x=\int f\hat{g}\mathrm{d}x\).
8.若\(f,\hat{f}\in L^1(\mathbb{R}^n)\),那么\(f(x)=(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^n}\hat{f}(\zeta)e^{i x\cdot \zeta}\mathrm{d} \zeta\);
9.若\(f\in L^1(\mathbb{R}^n)\).且\(\hat{f}=0,a.e x\in \mathbb{R}^n\),那么\(f\)也几乎处处为0.
证明:
1.在说明\(f\)的合理性已经证明.
2.在这里我们先省略傅里叶变换中的系数.对任意的\(\zeta,\xi \in \mathbb{R}^n\),我们有:
\[\left|\int f(x) e^{-i x(\zeta+\Delta \zeta)}-f(x) e^{-i x \zeta} \mathrm{d} x\right|=\left|\int f(x) e^{-i x \zeta}\left(1-e^{-i x \Delta \zeta}\right) \mathrm{d} x\right| \]因为:
\[\left|f(x) e^{-i x \zeta}\left(1-e^{-i x \Delta \zeta}\right)\right|\le |f(x)|\cdot |e^{ix\cdot \Delta \xi}-1| \]又因为
\[\left|\left(1-e^{-i x \Delta \varsigma}\right)\right| \leq 2 \]故:\(|f(x)|\cdot |e^{ix\cdot \Delta \xi}-1|\)是\(L^1\)可积的.根据Lebesgue控制收敛定理,\(2|f(x|)\)可以作为\(|f(x)|\cdot |e^{ix\cdot \Delta \xi}-1|\)的控制函数,故:
\[\lim _{\Delta \xi \rightarrow 0} \int_{\mathbb{R}^n}\left|e^{-i x \cdot \Delta \xi}-1\right| \cdot|f(x)| d x=0 \]故:
\[\lim _{|\Delta \zeta| \rightarrow 0} \sup _{\zeta \in \mathbb{R}^n}|\widehat{f}(\zeta+\Delta \zeta)-\widehat{f}(\zeta)|=0 \]故一致连续.
3.利用光滑函数逼近定理,首先设\(f\in C_0^{\infty}(\mathbb{R}^n)\),则对于任意的\(|\alpha|=1\),都有:
\[\begin{aligned} \widehat{f}(\xi) & =\frac{1}{(-i \xi)^\alpha(2 \pi)^{-n / 2}} \int_{\mathbb{R}^n} \partial^\alpha\left(e^{-i x \cdot \xi}\right) f(x) d x \\ & =-\frac{1}{(-i \xi)^\alpha(2 \pi)^{-n / 2}} \int_{\mathbb{R}^n} e^{-i x \cdot \xi} \partial^\alpha f(x) d x . \end{aligned} \]因此我们可以得到对任意的\(|\alpha|=1\),都有:
\[|\hat{f}|\le C|\xi|^{\alpha}||\partial^\alpha f||_1 \]因此当\(\xi \to 0,|\hat{f}|\to 0\).现在考虑\(f\in L^1\),则存在光滑函数\(h\)是的：
\[||f-h||_1<\varepsilon \]因此:
\[|\widehat{f}(\xi)| \leqslant|(\widehat{f-h})(\xi)|+|\widehat{h}(\xi)| \leqslant\|f-h\|_1+|\widehat{h}(\xi)|<\epsilon+|\widehat{h}(\xi)| \text {. } \]令\(|\xi|\to \infty\)以及\(\varepsilon\to 0\)就可以得到证明.
4.直接积分就可以的.
5.为了证明 \((\mathrm{v})\) 的第一个等式, 设 \(h=\left(0, \cdots, 0, h_k, 0, \cdots, 0\right)\) 是 \(\xi_k\) 轴上的非 零向量. 根据 (4) 的第二个等式与 Lebesgue 控制收敛定理,
\[\frac{\widehat{f}(\xi+h)-\widehat{f}(\xi)}{h_k}=\left\{\left(\frac{e^{- i x \cdot h}-1}{h_k}\right) f(x)\right\}^{\wedge}(\xi)\longrightarrow\left(- i x_k f(x)\right)^{\wedge}(\xi), h_k \rightarrow 0 \]因为当 \(h_k \rightarrow 0\) 时, \(\frac{\left(\tau_{-h} f\right)-f}{h_k}\) 在 \(L^1\left(\mathbb{R}^n\right)\) 意义下收敛到 \(\frac{\partial f}{\partial x_k}\), 故由 (1) 与 (4) 的 第一个等式得知 \(\frac{e^{ h \cdot \xi} \widehat{f}(\xi)-\widehat{f}(\xi)}{h_k}\) 一致收敛到 \(\frac{\widehat{\partial f}}{\partial x_k}(\xi)\). 易知 \(\lim _{h_k \rightarrow 0} \frac{e^{ i h \cdot \xi}-1}{h_k}=i \xi_k\), 所以 (5) 的第二个等式得证.
6.利用Fubini定理即可.
7.利用Fubini定理即可.
8.证明,利用(7)我们在等式两边取\(g(x)=e^{-|\epsilon x|^2/2}\),因此(下边的证明,我们省略前边的系数.)
\[\begin{aligned} \int_{\mathbb{R}^n} \widehat{f}(x) e^{ i t \cdot x} e^{-|\epsilon x|^2/2} d x &=\int_{\mathbb{R}^n} f(x)\left[\widehat{e^{i t \cdot x} \phi(\epsilon x)}\right] d x \\ &=\int_{\mathbb{R}^n} f(x)\left[\tau_t \widehat{\left(\delta_\epsilon \phi\right)}\right](x) d x \\ &=\int_{\mathbb{R}^n} f(x) \widehat{\phi}_\epsilon(x-t) d x \end{aligned} \]其中\(\phi_{\epsilon}:=\epsilon^{-n}\phi(\epsilon^{-1}x).\),我们知道\(\widehat{\phi_{\epsilon}}=\phi_{\epsilon}(x)\).且\(\phi\)的积分为1，因此：
\[\int_{\mathbb{R}^n} \widehat{f}(x) e^{ i t \cdot x} e^{- |\epsilon x|^2/2} d x=\int_{\mathbb{R}^n} f(x) \phi_\epsilon(x-t) d x=(2\pi)^{n/2}f * \widetilde{\phi}_\epsilon(t), \]其中 \(\widetilde{\phi}(x)=\phi(-x)\). 将上式等号两边取极限 \(\epsilon \rightarrow 0\), 根据 Lebesgue 控制收敛定 理得
\[(2\pi)^{-n/2}\int_{\mathbb{R}^n} \widehat{f}(x) e^{ i t \cdot x} d x=f(t), \quad \text { a.e. } \]9.利用8即可证明.
5.3.\(\mathscr{S}\)上的傅里叶逆变换
定义7：
设\(f\in \mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\),称:
我们常用\(\mathcal{F}^{-1}\)来表示傅里叶逆变换.
类似的,傅里叶逆变换的定义也是合理的,并且也可以定义在\(L^1(\mathbb{R}^n)\)上.
首先我们先说明对任意的\(f\in \mathscr{S}\),我们都有：
\[\hat{f}\in \mathscr{S} \]这是因为:
\[\left\|x^\alpha\left(\partial^\beta \widehat{f}\right)(x)\right\|_{L^{\infty}}=\left\|\left(\partial^\alpha\left(x^\beta f(x)\right)\right)^{\wedge}\right\|_{L^{\infty}} \leq\left\|\partial^\alpha\left(x^\beta f(x)\right)\right\|_{L^1}<\infty . \]因此我们可以对\(\hat{f}\)做傅里叶逆变换,我们希望有如下的结果:
\[ \mathcal{F}(\mathcal{F}^{-1}(f))=f,\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}(f))=f \]关于傅里叶逆变换我们有如下定理:
定理8:
对\(f,g\in \mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\),我们有:
- $ \mathcal{F}(\mathcal{F}{-1}(f))=f,\mathcal{F}(\mathcal{F}(f))=f$;
- (Parseval等式) \(\int f\bar{h}\mathrm{d}x=\int \hat{f}(\xi)=\overline{\hat{h}(\xi)}\mathrm{d}\xi\);
- (Plancherel等式)\(||f||_2=||\hat{f}||_2=||\check{f}||_2\);
- \(\int fh\mathrm{d}x=\int \hat{f}(x)h^{\wedge}\mathrm{d}x\).
证明:
- 第一个根据傅里叶变换的性质8我们知道当\(f\in \mathscr{S}\)时,\(\hat{f}\in \mathscr{S}\),因此满足性质8的条件故可直接应用.第二个只需要令第一个等式的\(f\)变为\(\tilde{f}\)即可.
- 我们只需要令\(\bar{h}(x)=\hat{g}(x)\Rightarrow g(x)=\check{\bar{h}}(x)\).
- 是(2)的直接推论.这里只需要注意到在当\(f(x)\in \mathbb{C}\)时,\(L^2\)范数的定义是\(\int f\cdot \bar{f}\mathrm{d}x\)即可.
- (2)的直接推论.
因此我们可以得到推论:
推论9: 算子\(\mathcal{F}\)是\(\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\)到自身的线性同构.
\(L^p(\mathbb{R}^n)\)上的傅里叶变换,\(1\le p\le 2\)
现在我们要定义\(L^2\)上的Fourier变换.我们希望它能够像\(L^1\)一样,有
\[\widehat{f}(\xi):=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n} f(x) e^{-i x \cdot \xi} d x, \quad \xi \in \mathbb{R}^n \]这种表现形式,但是很遗憾的是：这样的定义未必有意义,因为\(L^2\)可积不能得到\(L^1\)可积,因此我们不能依赖这种手段.但是幸运的是\(\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\)在\(L^1,L^2\)中稠,而在这个集合上按照上式定义的Fourier变换是合理的，而他是\(L^2\)的一个线性子空间,Fourier变换是这个空间上的一个变换,我们可以利用Plancherel等式扩张到整个\(L^2\)空间上.
定理1: [Plancherel定理]
假如 \(f \in L^1\left(\mathbb{R}^n\right) \cap L^2\left(\mathbb{R}^n\right)\), 则 \(\widehat{f} \in L^2\left(\mathbb{R}^n\right)\) 且
$$
|\widehat{f}|_2=|f|_2 .
$$
上述公式被称为Plancherel定理
注: 利用\(\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\)在\(L^p,1\le p<\infty\)中稠的性质我们可以很快的证明上述结论,但是在此我们给出一个不依赖于该结果的证明(虽然不是很有必要).
证明: 对\(\alpha>0\),我们令:
\[h_{\alpha}(y)=\frac{1}{(\alpha)^{n/2}}e^{-|x|^2/(2\alpha)} \]容易看出\(\hat{h_{\alpha}},|\hat{f}|^2\in L^1\),因此我们有:
\[\begin{aligned} & \int_{\mathbb{R}^n} \widehat{h_\alpha}(x)|\widehat{f}(x)|^2 d x \\ =& \int_{\mathbb{R}^n} f(y) \int_{\mathbb{R}^n} \overline{f(z)}\left(\int_{\mathbb{R}^n} \exp ( i x \cdot(z-y)) \widehat{h_\alpha}(x) d x\right) d z d y \\ =& \int_{\mathbb{R}^n} f(y) \int_{\mathbb{R}^n} \overline{f(z)} h_\alpha(z-y) d z d y \\ =& \int_{\mathbb{R}^n} F(y) h_\alpha(y) d y \end{aligned} \]这里 \(F(y)=\int_{\mathbb{R}^n} f(y+z) \overline{f(z)} d z\). 容易验证 \(F\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 上的连续函数. 一个平凡的 计算告诉我们
\[\lim _{\alpha \rightarrow 0^{+}} \int_{\mathbb{R}^n} F(y) h_\alpha(y) d y=F(0)=\|f\|_2^2 . \]另一方面, 利用 Fatou 引理可知
\[\int_{\mathbb{R}^n}|\widehat{f}(\xi)|^2 d \xi \leqslant \liminf _{\alpha \rightarrow 0^{+}} \int_{\mathbb{R}^n} \widehat{h_\alpha}(\xi)|\widehat{f}(\xi)|^2 d \xi, \]所以 \(\widehat{f} \in L^2\left(\mathbb{R}^n\right)\) 且 \(\|\widehat{f}\|_2 \leqslant\|f\|_2\). 再利用 Lebesgue 控制收敛定理就知道
\[\lim _{\alpha \rightarrow 0^{+}} \int_{\mathbb{R}^n} \widehat{h_\alpha}(x)|\widehat{f}(x)|^2 d x=\|\widehat{f}\|_2^2, \]这就完成了定理的证明.
现在我们已经在\(L^2\)的一个稠密子空间\(\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\)(因为他属于\(L^1\cap L^2\))定义好了Fourier变换，现在我们将其扩张到整个空间上.
对任意的\(f\in L^2\),我们取\(\{\phi_k\}\subset L^1\left(\mathbb{R}^n\right) \cap L^2\left(\mathbb{R}^n\right)\)逼近\(f\),因此他是\(L^2\)中的Cauchy列，我们用他的傅里叶变换的极限来定义极限函数的傅里叶变换.由于：
\[\mathcal{F}:L^2\to L^2 \]因此\(\hat{\phi}\)仍在\(L^2\)中，又因为：
\[||\hat{\phi_k}-\hat{\phi}_{k+p}||_2=||\phi_k-\phi_{k+p}||\to 0 \]由\(L^2\)的收敛性我们可以得到：存在函数\(g\in L^2\)使得：
\[\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\widehat{\phi_k}-g\right\|_2=0 \]我们就定义\(g\)为\(f\)的Fourier变换.
下边验证定义的合理性，即\(g\)的定义与逼近函数的选取无关.假设\(\{\phi_k\},\{\psi_k\}\)是两组$ L1\left(\mathbb{R}n\right) \cap L2\left(\mathbb{R}n\right)\(中的函数且他们逼近\)f$,那么有：
\[\left\|f-\phi_k\right\|_2 \rightarrow 0, \quad\left\|f-\psi_k\right\|_2 \rightarrow 0 \]设\(g_1,g_2\)分别是他们对应的Fourier变换，那么：
\[\left\|g_1-g_2\right\|_2 \leqslant\left\|g_1-\widehat{\phi_k}\right\|_2+\left\|g_2-\widehat{\psi_k}\right\|_2+\left\|\phi_k-\psi_k\right\|_2 \]这意味\(g_1=g_2,a.e\),在\(L^2\)的意义下\(g_1\)和\(g_2\)是相等的.
下边我们来看\(L^2\)中Fourier变换的性质：
定理2: 假设\(f,g\in L^2\),那么我们有：
1.Plancherel公式成立:
$$
|f|_2=|\widehat{f}|_2
$$
2.在\(L^2\)范数意义下：
\[\widehat{f}(\xi)=\lim_{N \rightarrow \infty} (2\pi)^{-n/2}\int_{|x| < N} f(x) e^{- i x \cdot \xi} d x, \]\[f(x)=\lim _{N \rightarrow \infty} (2\pi)^{-n/2}\int_{|x| < N} \widehat{f}(\xi) e^{ i x \cdot \xi} d \xi \]成立;
3.Parseval等式成立：
\[\int_{\mathbb{R}^n} f(x) \overline{g(x)} d x=\int_{\mathbb{R}^n} \widehat{f}(\xi) \overline{\hat{g}(\xi)} d \xi \]证明: (1):两者都等于逼近函数的范数的极限，因此是相等的.
(2):令:
\[f_N(x)= \begin{cases}f(x), & \text { 若 }|x| \leqslant N, \\ 0, & \text { 若 }|x|>N,\end{cases} \]显然:\(f_N\in L^1\left(\mathbb{R}^n\right) \cap L^2\left(\mathbb{R}^n\right)\),因此根据\(L^2\)Fourier变换的定义我们知道第一个等式成立的.
现在证明第二个部分,我们记\(\tilde{f}(x)=f(-x)\),则\(\tilde{f}\in L^2\),且容易验证\(\hat{f}(-\xi)=\hat{\tilde{f}}(\xi)\),因为\(\hat{f}\in L^2\),因次存在\(g\in L^2\),
\[g(x)=\lim _{N \rightarrow \infty} (2\pi)^{-n/2} \int_{|\xi| < N} \widehat{f}(\xi) e^{ i x \cdot \xi} d \xi=\lim _{N \rightarrow \infty} \int_{|\xi| < N} (2\pi)^{-n/2}\widehat{\widetilde{f}}(\xi) e^{- i x \cdot \xi} d \xi \]在\(L^2\)以下成立.
根据速降空间在\(L^2\)稠，因此我们取这个空间的函数列${\phi_k},||\phi_k-f||\to \(,注意到\)\hat{\phi_k}\in L^1$,因此傅里叶逆变换成立:
\[\phi_k(x)=\lim _{N \rightarrow \infty} (2\pi)^{-n/2} \int_{|\xi| < N} \widehat{\phi}_k(\xi) e^{ i x \cdot \xi} d \xi \]又:
\[\begin{aligned} \phi_k(x) &=\lim _{N \rightarrow \infty}(2\pi)^{-n/2} \int_{|\xi| < N} \widehat{\phi}_k(\xi) e^{ i x \cdot \xi} d \xi \\ &=\lim _{N \rightarrow \infty} (2\pi)^{-n/2} \int_{|\xi| < N} \widehat{\widetilde{\phi}}_k(\xi) e^{- i x \cdot \xi} d \xi \end{aligned} \]因此\(g-\phi_k\)就是\(\widehat{\widetilde{f}}-\widehat{\widetilde{\phi}}_k\)在\(L^2\)中的傅里叶变换,又：
\[\lim _{k \rightarrow \infty}\left\|g-\phi_k\right\|_2=\lim _{k \rightarrow \infty}\left\|\widehat{\widetilde{f}}-\widehat{\widetilde{\phi}}_k\right\|_2=\lim _{k \rightarrow \infty}\left\|\widehat{f}-\widehat{\phi}_k\right\|_2=0 \]因此\(f,g\)几乎处处相等.故在\(L^2\)意义下相等
最后证明结论 (3). 对于 \(f, g \in L^2\left(\mathbb{R}^n\right)\), 显然有
\[\|f+g\|_2^2=\|f\|_2^2+\|g\|_2^2+\int_{\mathbb{R}^n} f(x) \overline{g(x)} d x+\int_{\mathbb{R}^n} g(x) \overline{f(x)} d x \]以及
\[\|\widehat{f}+\widehat{g}\|_2^2=\|\widehat{f}\|_2^2+\|\widehat{g}\|_2^2+\int_{\mathbb{R}^n} \widehat{f}(\xi) \overline{\widehat{g}(\xi)} d \xi+\int_{\mathbb{R}^n} \widehat{g}(\xi) \overline{\widehat{f}(\xi)} d \xi \]成立. 根据 Plancherel 定理, 上述两式意味着
\[\operatorname{Re} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) \overline{g(x)} d x=\operatorname{Re} \int_{\mathbb{R}^n} \widehat{f}(\xi) \overline{\widehat{g}(\xi)} d \xi . \]另一方面, 对函数 \(f+i g\) 重复上面的推导过程可得
\[\operatorname{Im} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) \overline{g(x)} d x=\operatorname{Im} \int_{\mathbb{R}^n} \widehat{f}(\xi) \overline{\widehat{g}(\xi)} d \xi . \]最后我们给几个注记:
1.不难证明\(\mathcal{F}:L^2\to L^2\)是一个等距同构；\(\mathcal{F}:\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\to \mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\)也是一个等距同构.
2.对于\(L^2\)发Fourier变换而言,反演公式是成立的.
对一般的\(f\in L^p,1\le p\le 2\),我们可以将其分解为\(f=f_1+f_2\),其中\(f_1\in L^1,f_2\in L^2\),由于\(\mathcal{F}\)是一个线性算子并且在\(L^1,L^2\)上都是定义好的,故我们定义\(f\in L^p\)的傅里叶变换为:
\[\mathcal{F}(f)=\mathcal{F}(f_1)+\mathcal{F}(f_2) \]下边我们要证明其定义是合理的,即与\(f\)的分解方式无关,假设还有另一种分解\(f=h_1+h_2\),那么：
\[f_1-h_1=f_2-h_2\in L^1\cap L^2 \]故:
\[\widehat{f_1-h_1}=\widehat{f_2-h_2}\Rightarrow \hat{f}_1+\hat{f}_2=\hat{h_1}+\hat{f}_2=\widehat{f_1+f_2}=\widehat{h_1+h_2} \]故定义是合理的.
6.\(\mathscr{S}'(\mathbb{R}^n)\)上的傅里叶变换
6.1.缓增分布\(\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\)
定义1: 称\(\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)\)上的(序列)连续线性泛函称为缓增分布,其组成的线性空间称为缓增分布空间记为\(\mathscr{S}'(\mathbb{R}^n)\).具体的,对任意的\(\phi\in \mathscr{S}\),存在\(C > 0,N\in \mathbb{N}\):
\[\langle u,\phi \rangle \le C\sum_{|\alpha|\le N,\beta\le N}\sup|x^{\alpha}\partial^{\beta}\phi| \]在下文中,我们用:
\begin{equation}
D_j=-i\partial_j
\end{equation}
来表示新的微分算子.
注意到由于:
\[\mathscr{D}\subset \mathscr{S}\subset \mathscr{E} \]因此有:
\[\mathscr{E}'\subset \mathscr{S}'\subset \mathscr{D}' \]例2: 函数具有多项式增长速度是指,存在\(C>0,M>0\)使得:
\[|f(x)|\le C(1+|x|^2)^M,\forall x\in \mathbb{R}^n \]显然这样的函数是一个缓增分布.因为:
\[|\langle f,\phi \rangle| =|\int f\cdot \phi|\le \sup (1+|x|)^m|f(x)| \cdot \int (1+|x|)^{k-m}\mathrm{d}x \]我们可以取\(m\)充分大使得\((1+|x|)^{k-m}\)是可积即可.
进一步\(f\)的微分也是缓增分布.
事实上,对于缓增分布有如下的结构定理:
定理3: 每个缓增分布都是某个具有多项式增长速度的有限阶导数(这里的导数是指分布的导数).
该定理的证明我们暂时省略.
6.2.\(\mathscr{S}'(\mathbb{R}^n)\)上的傅里叶变换
之前我们得到了\(1\le p\le 2\)时的,\(L^p\)上的傅里叶变换.现在我们要将其推广到更一般的\(L^p\)空间上,比较好的方法就是采用对偶的方式定义.这里我们采用在更大的空间\(\mathscr{S}'\)上定义傅里叶变换.首先我们先做一个简单的说明:
\[L^p(\mathbb{R}^n)\subset \mathscr{S}' \]首先考虑\(1\le p<\infty\).此时设\(u\in L^p\),那么:
\[|u(\phi)|\le ||u||_p\cdot ||\phi||_q \]注意到我们可以取充分大的\(N\)使得\((1+|x|)^{-N}\)在\(L^q\)中可积,此时:
\[||\phi||_q\le ||(1+|x|)^{-N}||_q \cdot \sup |(1+|x|)^N\phi(x)| \]因此我们就可以得到:
\[|u(\phi)|\le c\sup |(1+|x|)^N\phi(x)| \]故\(L^p(\mathbb{R}^n)\subset \mathscr{S}'\).
故我们在\(\mathscr{S}\)上定义傅里叶变换自然就可以得到\(L^p\)上的傅里叶变换了.
定义4: 设\(u\in \mathscr{S}'\),定义其傅里叶变换\(\hat{u}\in \mathscr{S}'\)为:
\[ \langle \hat{u},\phi\rangle =\langle u,\hat{\phi}\rangle \]其逆变换为:
\[ \langle \check{u},\phi\rangle =\langle u,\check{\phi}\rangle \]经过简单的计算就可以发现,\(\hat{u}\)确实是\(\mathscr{S}'\)中的一个元素,并且当\(u\in L^1\)时,其傅里叶变换和我们定义的:
\[\hat{u}=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int u(x)e^{-ix\xi}\mathrm{d}x \]是一致的,因此我们的定义是合理的.
例5:
计算\(\delta\)函数的傅里叶变换.
直接计算就有:
\[\langle \hat{\delta},\phi \rangle=\langle \delta ,\hat{\phi} \rangle=\hat{\phi}(0)=\langle 1,\phi \rangle \]现在计算\(\widehat{\partial^{\alpha}\delta}\),于是有:
\[\begin{aligned} \left\langle\left(\partial^\alpha \delta_0\right)^{\wedge}, f\right\rangle&=\left\langle\partial^\alpha \delta_0, \widehat{f}\right\rangle\\ & =(-1)^{|\alpha|}\left\langle\delta_0, \partial^\alpha \widehat{f}\right\rangle \\ & =(-1)^{|\alpha|}\left\langle\delta_0,\left((-i x)^\alpha f(x)\right)^{\uparrow}\right\rangle \\ & =(-1)^{|\alpha|}\left((-i x)^\alpha f(x)\right) \uparrow(0) \\ & =(-1)^{|\alpha|} \int_{\mathbf{R}^n}(- x)^\alpha f(x) d x \\ & =\int_{\mathbf{R}^n}( i x)^\alpha f(x) d x =\langle (ix)^{\alpha},f(x)\rangle. \end{aligned} \]有一些常见的缓降分布,他们是速降函数空间傅里叶变换上的推广,分别是平移算子,伸缩算子,反射算子,分别定义为:
\[\begin{aligned} \left\langle\tau_t(u), f\right\rangle & =\left\langle u, \tau_{-t}(f)\right\rangle, \\ \left\langle\delta_a(u), f\right\rangle & =\left\langle u, a^{-n} \delta_{1 / a}(f)\right\rangle, \\ \langle\widetilde{u}, f\rangle & =\langle u, \widetilde{f}\rangle, \end{aligned} \]现在我们要将\(\mathscr{S}\)上傅里叶变换的性质推广到\(\mathscr{S}'\)上.首先有这些性质(注意到这里的\(D_i=-i\partial_i\)):
\[\begin{aligned} & \left(D^\alpha u\right)^{\wedge}=\xi^\alpha \hat{u} \\ & \left(x^\alpha u\right)^{\wedge}=(-1)^{|\alpha|} D^\alpha \hat{u}, \\ & \left(\tau_h u\right)^{\wedge}(\xi)=\hat{u}(\xi) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \xi \cdot h}, \quad h \in \mathbb{R}^n \\ & \left(u \mathrm{e}^{\mathrm{i} x \cdot h}\right)^{\wedge}=\tau_h \hat{u}, \quad h \in \mathbb{R}^n . \end{aligned} \]定理6: 傅里叶变换\(\mathcal{F}:\mathscr{S}'\to \mathscr{S}'\)是线性同构.并且\(\mathcal{F}\)和\(\mathcal{F}^{-1}\)都是(序列)连续的.
证明: 我们只用说明：
\[\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}u)=u,\mathcal{F}(\mathcal{F}^{-1}u)=u \]即可.根据定义验证即可.
6.3.\(\mathscr{E}'(\mathbb{R}^n)\)的傅里叶变换
由于\(\mathscr{E}'\subset \mathscr{S}'\),因此对具有紧支集的分布我们同样可以定义其傅里叶变换,关于其傅里叶变换我们有如下定理:
定理7: 若\(u\in \mathscr{E}'\),则：
\[ \hat{u}=\langle u_x, e^{-ix\xi}\rangle \]并且\(\hat{u}\)是\(C^{\infty}\)的.
证明: 关于\(\langle u_x, e^{-ix\xi}\rangle\)是\(C^{\infty}\)我们在前边关于分布的论述中已经证明过了.现在我们证明\(\hat{u}\)确实有这种形式.去任意的\(\phi\in \mathscr{D}\),则我们有:
\[\begin{aligned} \left\langle u_x \otimes \phi(\xi), \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x \cdot \xi}\right\rangle & =\left\langle u_x, \int \phi(\xi) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x \cdot \xi} \mathrm{d} \xi\right\rangle =\langle u,\hat{\phi}\rangle=\langle \hat{u},\phi\rangle \\ & =\int\left\langle u_x, \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x \cdot \xi}\right\rangle \phi(\xi) \mathrm{d} \xi\\ &=\left\langle \langle u_x,e^{-ix\xi}\rangle,\phi(\xi)\right\rangle \end{aligned} \]故我们得到了:对任意的\(\phi\in \mathscr{D}\),我们都有:
\[\langle \hat{u},\phi\rangle =\langle u_x, e^{-ix\xi}\rangle \]故定理的证明.
现在利用定理7我们可以证明卷积傅里叶变换在\(\mathscr{E}'\)中的推广.
定理8: 如果\(u,v\in \mathscr{E}'\),则:
\[(u * v)^{\wedge}=\hat{u}\cdot \hat{v} \]证明: 根据定理7我们知道:
\[(u * v)^{\wedge} =(u * v,e^{i x\cdot \xi})=\langle u_x\otimes v_y,e^{-i(x+y)\xi}\rangle =\langle u_x,e^{-ix\xi}\rangle \cdot \langle v_y,e^{-iy\xi}\rangle =\hat{u}\cdot \hat{v} \]因此定理得证.
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