AA@数域和多项式

标签：AA 系数运算多项式数域因式整除

文章目录

数域

封闭运算
用封闭运算描述数域

多项式

数域P上的多项式
多项式中的相关术语
多项式相等
零多项式
多项式之间的运算

加法(减法)
乘法

多项式运算的次数性质

运算律

一元多项式环
带余除法

整除

因式和倍式
整除的常用性质

相互整除
整除的传递性

组合式依然整除

数域

设Р是由一些复数组成的集合,其中包括0与1.如果P中任意两个数(这两个数也可以相同)的"和,差,积,商"(除数不为0)仍然是Р中的数,那么Р就称为一个数域.

有理数,实数和复数都是数域(分别用字母 $AA@数域和多项式_高等代数$ 表示)
然而,全体正数( $AA@数域和多项式_多项式_02$ )就不是数域,因为存在两整数之商不是整数的情况(不是任意两个整数的商都是整数)

封闭运算

如果数的集合Р中任意两个数做某一运算的结果仍在Р中,我们就说数集Р对这个运算是封闭的

用封闭运算描述数域

数域的定义也可以说成,如果一个包含0,1在内的数集Р对于加法、减法﹑乘法与除法(除数不为0)是封闭的,那么Р就称为一个数域.

多项式

在对多项式的讨论中，我们总是以一个预先给定的数域P作为基础.设 $AA@数域和多项式_高等代数_03$ 是一个符号:

数域P上的多项式

设 $AA@数域和多项式_高等代数_04$ 是一个非负整数,形如表达式 $AA@数域和多项式_一元多项式_05$ ;其中 $AA@数域和多项式_一元多项式_06$ ,则称 $AA@数域和多项式_整除_07$ 为系数在数域P中的一个元多项式,简称数域P上的一元多项式

多项式中的相关术语

多项式E中, $AA@数域和多项式_多项式_08$ 称为** $AA@数域和多项式_整除_09$ 次项**, $AA@数域和多项式_整除_10$ 称为该项的系数
通常用 $AA@数域和多项式_整除_11$ 或 $AA@数域和多项式_多项式_12$ 来表示多项式
$AA@数域和多项式_多项式_13$ 称为多项式E的首项, $AA@数域和多项式_多项式_14$ 称为首项系数, $AA@数域和多项式_高等代数_04$ 称为多项式的次数
多项式 $AA@数域和多项式_多项式_16$ 的次数记为 $AA@数域和多项式_整除_17$ (默认 $AA@数域和多项式_多项式_18$ )

多项式相等

如果在多项式 $AA@数域和多项式_多项式_16$ 与 $AA@数域和多项式_高等代数_20$ 中,同次项的系数全相等,那么 $AA@数域和多项式_多项式_16$ 与 $AA@数域和多项式_高等代数_20$ 就称为相等,记为 $AA@数域和多项式_整除_23$ .

零多项式

系数全为零的多项式称为零多项式,记为0.( $AA@数域和多项式_一元多项式_24$ )
零多项式不定义次数
区别于常数多项式,例如 $AA@数域和多项式_高等代数_25$ 是0次多项式,但不是零多项式

多项式之间的运算

设 $AA@数域和多项式_整除_26$ , $AA@数域和多项式_高等代数_27$
记 $AA@数域和多项式_多项式_28$
为了方便起见,要对齐两个多项式,将次数较低的多项式的高次项系数设置为0

加法(减法)

$AA@数域和多项式_多项式_29$

乘法

$AA@数域和多项式_一元多项式_30$

为例便于引用,该形式称为形式1( $AA@数域和多项式_高等代数_31$ )
从上述求和式可以看出,S的次数为 $AA@数域和多项式_整除_32$ (最高次项的次数)
并且每项都形如 $AA@数域和多项式_一元多项式_33$

从高次到低次排列各项
$AA@数域和多项式_高等代数_34$

$AA@数域和多项式_一元多项式_35$
$AA@数域和多项式_一元多项式_36$
$AA@数域和多项式_整除_37$
$AA@数域和多项式_高等代数_38$
$AA@数域和多项式_多项式_39$
$AA@数域和多项式_高等代数_38$
$AA@数域和多项式_多项式_41$
$AA@数域和多项式_多项式_42$
设 $AA@数域和多项式_高等代数_43$ ,则次数为 $AA@数域和多项式_一元多项式_44$ 的项(s次项)的系数还可以写作

$AA@数域和多项式_整除_45$

根据上述讨论, $AA@数域和多项式_多项式_46$ 还可以表示为

$AA@数域和多项式_整除_47$
将这个形式称为形式2( $AA@数域和多项式_一元多项式_48$ )
其中内层求和表示项系数,外层求和表示从0次项求和到 $AA@数域和多项式_多项式_49$ 次项

形式 $AA@数域和多项式_整除_50$ ,但是 $AA@数域和多项式_一元多项式_51$ 表示的是尚未合并同类项时的形式(由乘法对加法的分配律得到); $AA@数域和多项式_多项式_52$ 则考虑的时合并同类项之后的形式
综上可得,数域P上的两个多项式经过"加/减/乘"等运算后(未包含除法),结果仍然是数域P上的多项式

多项式运算的次数性质

$AA@数域和多项式_一元多项式_53$
$AA@数域和多项式_多项式_54$ ; $AA@数域和多项式_整除_55$

运算律

1．加法交换律

$AA@数域和多项式_多项式_56$

2.加法结合律

$AA@数域和多项式_多项式_57$

3.乘法交换律

$AA@数域和多项式_高等代数_58$

4.乘法结合律

$AA@数域和多项式_多项式_59$

5.乘法对加法的分配律

$AA@数域和多项式_整除_60$

6.消去律

$AA@数域和多项式_一元多项式_61$

这些规律都很容易证明.下面只给出乘法结合律的证明.

$AA@数域和多项式_高等代数_62$
$AA@数域和多项式_高等代数_63$
也可以从系数的角度证明
$AA@数域和多项式_多项式_64$ 的 $AA@数域和多项式_多项式_65$ 次项系数 $AA@数域和多项式_高等代数_66$ , $AA@数域和多项式_整除_67$
则LHS的 $AA@数域和多项式_多项式_68$ 次项系数( $AA@数域和多项式_多项式_69$ 为

$AA@数域和多项式_整除_70$

$AA@数域和多项式_高等代数_71$ 中 $AA@数域和多项式_整除_72$ 此项系数( $AA@数域和多项式_高等代数_73$ 为 $AA@数域和多项式_高等代数_74$
RHS的 $AA@数域和多项式_多项式_68$ 次项系数为

$AA@数域和多项式_整除_76$

可见,LHS和RHS的 $AA@数域和多项式_多项式_68$ 次项系数对应相等,因此 $AA@数域和多项式_一元多项式_78$

一元多项式环

所有系数在数域Р中的一元多项式的全体,称为数域P上的一元多项式环,记为 $AA@数域和多项式_多项式_79$ ,
P称为 $AA@数域和多项式_多项式_79$ 的系数域.

带余除法

对于 $AA@数域和多项式_高等代数_81$ 中任意两个多项式 $AA@数域和多项式_整除_82$ , $AA@数域和多项式_多项式_83$ ,其中 $AA@数域和多项式_整除_84$ ,一定有 $AA@数域和多项式_高等代数_81$ 中的多项式 $AA@数域和多项式_整除_86$ 存在,使得:

$AA@数域和多项式_多项式_87$
其中 $AA@数域和多项式_高等代数_88$ 或者 $AA@数域和多项式_一元多项式_89$ ,并且 $AA@数域和多项式_一元多项式_90$ 是唯一的

次数 $AA@数域和多项式_多项式_91$ 不包括 $AA@数域和多项式_整除_92$ 的情况,因为0多项式没有次数定义,所以单独指出 $AA@数域和多项式_整除_92$ 这个可能

带余除法中所得的 $AA@数域和多项式_高等代数_94$ 称为 $AA@数域和多项式_多项式_83$ 除 $AA@数域和多项式_整除_82$ 的商式, $AA@数域和多项式_整除_97$ 称为 $AA@数域和多项式_多项式_83$ 除 $AA@数域和多项式_整除_82$ 的余式,它们分别简称为商和余

若 $AA@数域和多项式_一元多项式_100$ ,则 $AA@数域和多项式_整除_101$

整除

设 $AA@数域和多项式_一元多项式_102$ , $AA@数域和多项式_整除_103$ 是数域P上的多项式,如果 $AA@数域和多项式_一元多项式_102$ 使等式 $AA@数域和多项式_整除_105$ 成立,则称 $AA@数域和多项式_高等代数_20$ 整除 $AA@数域和多项式_多项式_16$ ,用 $AA@数域和多项式_高等代数_108$

因式和倍式

当 $AA@数域和多项式_高等代数_108$ 时

$AA@数域和多项式_多项式_110$ 称为 $AA@数域和多项式_整除_111$ 的因式
$AA@数域和多项式_整除_111$ 称为 $AA@数域和多项式_多项式_110$ 的倍式
即因式|倍式(因式整除倍式,倍式=因式乘以另一个因式)

当 $AA@数域和多项式_高等代数_114$ 时,带余除法给出整除性的判别法:

对于数域P上的任意 $AA@数域和多项式_整除_111$ , $AA@数域和多项式_多项式_110$ ,其中 $AA@数域和多项式_一元多项式_117$ , $AA@数域和多项式_多项式_118$ 的充要条件是 $AA@数域和多项式_高等代数_119$ 的余式为0(容易根据整除的定义证明)
带余除法中, $AA@数域和多项式_一元多项式_117$ ,但是 $AA@数域和多项式_多项式_118$ 是允许 $AA@数域和多项式_一元多项式_122$ 出现,此时 $AA@数域和多项式_高等代数_123$

整除的常用性质

任意多项式 $AA@数域和多项式_多项式_16$ 整除其自身: $AA@数域和多项式_多项式_125$ ,因为 $AA@数域和多项式_整除_126$
任意多项式 $AA@数域和多项式_多项式_16$ 整除0多项式: $AA@数域和多项式_多项式_128$ ,因为 $AA@数域和多项式_整除_129$
任意零次多项式 $AA@数域和多项式_整除_130$ ,也即非0常数,能整除任意多项式, $AA@数域和多项式_一元多项式_131$ ,因为 $AA@数域和多项式_一元多项式_132$

注意零次多项式和零多项式是不同的,尽管它们都是常数,但是零次多项式要求是非0常数,零多项式是且仅是0

相互整除

如果 $AA@数域和多项式_多项式_133$ , $AA@数域和多项式_高等代数_108$ ,则 $AA@数域和多项式_整除_135$ ,其中常数 $AA@数域和多项式_高等代数_136$

由条件可设 $AA@数域和多项式_整除_137$ , $AA@数域和多项式_多项式_138$ ,将第一个式子带入第二式: $AA@数域和多项式_多项式_139$
若 $AA@数域和多项式_一元多项式_140$ ,则 $AA@数域和多项式_高等代数_141$ ,满足 $AA@数域和多项式_一元多项式_142$
若 $AA@数域和多项式_一元多项式_143$ ,则可以多 $AA@数域和多项式_高等代数_144$ 两边同除以 $AA@数域和多项式_整除_111$ ,得到 $AA@数域和多项式_高等代数_146$
由于多项式 $AA@数域和多项式_高等代数_147$ 的乘积式常数(0次项),所以 $AA@数域和多项式_整除_148$ 的次数之和为0,即 $AA@数域和多项式_一元多项式_149$
又因为多项式的各项次数至少为0(非负,即 $AA@数域和多项式_高等代数_150$ ),从而 $AA@数域和多项式_多项式_151$
综上, $AA@数域和多项式_整除_148$ 都是非0常数,
设 $AA@数域和多项式_高等代数_153$ 因此对于 $AA@数域和多项式_整除_154$

整除的传递性

若 $AA@数域和多项式_一元多项式_155$ ,则 $AA@数域和多项式_高等代数_156$

由条件,可设 $AA@数域和多项式_高等代数_157$ , $AA@数域和多项式_整除_158$
$AA@数域和多项式_整除_159$ ,即 $AA@数域和多项式_整除_160$

组合式依然整除

若 $AA@数域和多项式_一元多项式_161$ , $AA@数域和多项式_高等代数_162$ , $AA@数域和多项式_多项式_163$ ,则 $AA@数域和多项式_一元多项式_164$

其中 $AA@数域和多项式_整除_165$ 是数域P上任意的多项式
由 $AA@数域和多项式_高等代数_166$ ,可设 $AA@数域和多项式_一元多项式_167$
则 $AA@数域和多项式_整除_168$
可见 $AA@数域和多项式_高等代数_169$

$AA@数域和多项式_整除_170$ 有相同的因式和倍式

$AA@数域和多项式_高等代数_171$ 具有相同的因式,常数 $AA@数域和多项式_高等代数_172$ ,

设 $AA@数域和多项式_一元多项式_173$ ,则可设 $AA@数域和多项式_多项式_174$ ,从而 $AA@数域和多项式_整除_175$ ,显然 $AA@数域和多项式_整除_176$
设 $AA@数域和多项式_一元多项式_177$ ,则可设 $AA@数域和多项式_高等代数_178$ ,从而 $AA@数域和多项式_高等代数_179$ ,显然 $AA@数域和多项式_整除_180$
综上 $AA@数域和多项式_多项式_181$ 的因式全部是 $AA@数域和多项式_高等代数_182$ 的因式,反之, $AA@数域和多项式_高等代数_182$ 的因式全部是 $AA@数域和多项式_多项式_181$ 的因式,
因此, $AA@数域和多项式_高等代数_185$ 具有相同的因式

设 $AA@数域和多项式_多项式_186$ ,则可设 $AA@数域和多项式_多项式_187$ ,即 $AA@数域和多项式_多项式_188$ ,即 $AA@数域和多项式_高等代数_189$ ,即 $AA@数域和多项式_整除_111$ 的倍式也是, $AA@数域和多项式_多项式_191$ 的倍式
设 $AA@数域和多项式_高等代数_189$ ,则可设 $AA@数域和多项式_整除_193$ ,即 $AA@数域和多项式_高等代数_194$ ,即 $AA@数域和多项式_多项式_186$ ,即 $AA@数域和多项式_多项式_191$ 的倍式也是 $AA@数域和多项式_整除_111$ 的倍式
因此 $AA@数域和多项式_一元多项式_198$ 有相同的倍式