2.具有紧支集的分布
2.1:定义
在上一节中,我们引入了分布的定义,从泛函的角度来看,可以看作是基本空间\(\mathscr{D}(X)\)上的连续线性泛函.或者可以用如下的条件判断:对任意的紧子集\(K\subset X\),都存在\(C,k\)使得:
\[|\langle u,\varphi\rangle|\le C\sum_{|\alpha|\le k}\mathrm{sup}|\partial^{\alpha}\varphi|,\forall \varphi\in C_c^{\infty}(K) \]这里线性映射\(u\)的作用对象都是\(C_0^{\infty}(X)\)中的函数.
但是如果分布\(u\)具有紧支集,那么我们可以将\(u\)的作用对象推广到\(C^{\infty}(X)\).取截断函数\(\psi =1,x\in \mathrm{supp} u\),则:
\[u(\phi)=u(\psi\phi)+u((1-\psi)\phi)=u(\psi\phi),\forall \phi\in C^{\infty}(X) \]根据分布的定义我们知道,存在\(C,k\)使得:
\[|u(\phi)|=|u(\psi\phi)|\le C\sum_{|\alpha|\le k}\sup_{x\in K}|\partial^{\alpha}\phi|,\forall \phi\in C^{\infty}(X) \]这里的\(C\)可以跟\(\psi\)有关.
反之,如果对任意的一个\(C^{\infty}(X)\)上的一个线性泛函,都存在\(C,k\)以及集合\(L\subset X\)使得:
\[||v(\phi)|\le C\sum_{|\alpha|\le k}\sup_{x\in K}|\partial^{\alpha}\phi|,\forall \phi\in C^{\infty}(X) \]那么\(v\)限制在\(C_c^(\infty)(X)\)上就算具有紧支集的分布,支集在\(L\)中.
下边从泛函的角度给出具有紧支集的分布的论述,首先引入空间\(\mathscr{E}(X)\).
定义1[函数空间\(\mathscr{E}(X)\)]: 若\(\phi_i\in C^{\infty}(X)\),且对一任意紧集\(K\subset X\),以及任意的多重指标\(\alpha\),都有:
\[\sup_{K}|\partial^{\alpha}\phi_i|\to 0 \]则称\(\phi_i\)在\(C^{\infty}(X)\)中收敛到0.我们将带有上述收敛性的\(C^{\infty}(X)\)空间记为\(\mathscr{E}(X)\).
定义2: \(\mathscr{E}(X)\)上的连续线性泛函所组成的线性空间记为\(\mathscr{E}'(X)\).
按照我们上述的论述,将\(\mathscr{E}'(X)\)中的元素限制在\(C_c^{\infty}(X)\)中就得到了具有紧支集的分布.我们可以断言,所有具有紧支集的分布都可以是这里的元素限制在\(C_c^{\infty}(X)\)中得到.
定理3: 如果\(u\in \mathscr{D}'(X)\)具有紧支集,则存在\(\mathscr{E}'(X)\)中唯一的元素限制在\(C_c^{\infty}(X)\)等于\(u\).
证明: \(\Rightarrow\)现在设\(u\in \mathscr{D}'(X)\)且具有紧支集,\(\rho\in C_c^{\infty}(X)\),并且在\(\mathrm{supp}u\)的某个邻域内恒为1,则对于任意的\(\phi\in C^{\infty}(X)\),我们可以定义\(\tilde{u}\in \mathscr{E}'(X)\)为:
\[\langle \tilde{u},\phi\rangle=\langle u,\rho \phi\rangle \]现在证明这种构造的唯一性,设\(\sigma\)是另一\(C_c^{\infty}(X)\)中的函数,并且在\(\mathrm{supp}u\)的某个邻域内恒为1,则:
\[\langle u,\rho\phi-\sigma\phi\rangle =0 \]因此我们指导对任意的\(\phi\in C_c^{\infty}(X)\),都有\(\langle \tilde{u},\phi\rangle=\langle u,\rho \phi\rangle\).
进一步,由于\(\rho\phi\)的紧支集包含中\(\rho\)的支集中(\(\rho\)是选定的),因此:
\[|\langle \tilde{u},\phi \rangle|\le C\sum_{|\alpha|\le k}\sup_{L}|\partial^{\alpha}\rho\phi|,\phi\in C^{\infty}(X) \]根据莱布尼茨法则,我们可以将\(C\)修改为\(C_{\rho}\),因此就得到了\(u\in \mathscr{E}'(X)\).
推论4: 如果\(u\in \mathscr{E}'(X)\),则\(u\)是有限阶的.
注意到,因为\(u\)具有紧支集,因此一般分布中对任意的\(K\subset X\),中就可以修改为存在\(K\subset X\),选定\(K\),那么与之对应的\(C,k\)都可以固定下来,故\(u\)是有限阶的.
2.2:紧支集为单点集的分布
定理5: 如果\(u\in\mathscr{E}'(X)\),并且阶数为\(\le k\),且如果存在\(\phi\in C^k(X)\)使得:
\[\partial^{\alpha}\phi(x)=0,|\alpha|\le k,x\in \mathrm{supp}u \]则\(u(\phi)=0\).
证明: 我们选择\(\chi_{\varepsilon}\in C_0^{\infty}(X)\),使得\(\chi_{\varepsilon}=1\)在\(\mathrm{supp}u\)的一个邻域,并且\(\chi_{\varepsilon}\)在:
\[M_{\varepsilon}:=\{y:|x_0-y|\le \varepsilon,x_0\in \mathrm{supp}u \} \]外恒为1.并且\(|\partial^{\alpha}\chi_{\varepsilon}|\le C|\varepsilon|^{-|\alpha|}\).
因为\(u\)和\((1-\chi_{\varepsilon}\phi)\)的支集互不相交因此:
\[u(\phi)=u(\phi\chi_{\varepsilon})+u((1-\chi_{\varepsilon})\phi)=u(\phi\chi_{\varepsilon}) \]利用分布的定义就得到了:
\[\begin{align*} |u(\phi)|\le& C\sum_{|\alpha|\le k}\sup|\partial^{\alpha}(\phi\chi_{\varepsilon})|\le C'\sum_{|\alpha|+|\beta|\le k}\sup|\partial^{\alpha}\phi|\cdot |\partial^{\alpha}\chi_{\varepsilon}|\\ \\&\le C^{''}\sum_{|\alpha|\le k}\varepsilon^{|\alpha|-k}\sup_{M_{\varepsilon}}|\partial^{\alpha}\phi| \end{align*} \]下边证明后者当\(\varepsilon\to 0\)时极限为0.考虑任何一个固定的\(\alpha\),注意到\(\partial^{\alpha}\phi(x_0)=0\).因此根据Tayloy公式我们就有:
\[|\partial^{\alpha}\phi(y)|\le \frac{1}{k-|\alpha|}\sup_{0 < t < 1}\left| \frac{d^{k-|\alpha|}}{dt^{k-|\alpha|}}(\partial^{\alpha}\phi)(x+t(y-x))\right| (*) \]这里注意到一个事实\(\partial^{\alpha}\phi\)在任何紧集是一致连续的并且在\(\mathrm{supp}u\)上为0.因此当\(\varepsilon\to 0\)时,\(\sup_{M_{\varepsilon}}|\partial^{\alpha}\phi|\to 0\).故我们可以分为两种情况：
- \(|\alpha|=k\),则可以直接证明;
- 当\(|\alpha| < k\),注意到由(*)式我们也可以得到证明.
定理6: 如果\(u\)是阶数为\(k\)且具有紧支集的分布,且\(\mathrm{supp}u=\{y\}\).则\(u\)有如下形式:
\[u(\phi)=\sum_{|\alpha|\le k}a_{\alpha}\partial^{\alpha}\phi(y),\phi\in C^k \]证明: 对\(\phi\)进行泰勒展开:
\[\phi(x)=\sum_{|\alpha|\le k}\partial^{\alpha}\phi(y)(x-y)^{\alpha}/\alpha!+\psi(x) \]显然\(\partial^{\alpha}\psi(y)=0,|\alpha|\le k\)(泰勒公式所得),因此根据定理4我们就可以得到:
\[u(\psi)=0 \]所以就得到了:
\[a_{\alpha}=u((\cdot-y)^{\alpha}/\alpha!) \]其中\(\cdot\)代表变量.
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