[ABC295E] Kth Number
考虑这个贡献可以表示成这样
\[\sum_{i=1}^m i\times p_i \]其中 \(p_i\) 是答案为 \(i\) 的概率。
我们可以考虑枚举空位的可能，设空位有 \(w\) 个，满足选择的数 \(\le i-1(<i)\) 的空位有 \(x\)，\(=i\) 的有 \(y\) 个。
很容易发现只需要满足以下两个条件那么就可以使得 \(i\) 作为答案。记 \(S_i\) 为确定的数中 \(\le i\) 的个数。
\[S_{i-1}+x\le k-1①\\ S_{i}+x+y\ge k \]前者保证了 \(i-1\) 不可能是第 \(k\) 个，后者保证了除此之外 \(i\) 对于 \(k\) 来说是足够的。
其实这样已经可以做了，但是复杂度过高 \(O(mn^2)\)，考虑优化。
发现 \(\sum_{i=1}^m i\times p_i\) 也可以表示为
\[\sum_{i=1}^m suf_i \]\(suf_i=\sum_{i=1}^m p_i\)。
很好理解。
然后我们就发现其实不需要 \(y\) 了，只要满足①即可。因为剩下的 \(w-x\) 一定都满足 \(\ge i\)。对于这时的 \(i,x\)，贡献为 \(C_w^x\times(i-1)^x\times(n-i+1)^{w-x}\)。
复杂度 \(O(mn)\)。