线性变换的零空间和值空间的基
定义了内积的复线性空间称为 酉空间
度量矩阵是对应内积空间的基的度量矩阵
正交基、标准正交基
标准正交基-->度量矩阵为单位阵
正交阵
\(A^H=A\),则\(A\)为 Hermite 矩阵 --- 对称阵
两个变换都是正交变换
镜像变换(Householder)变换,计算w的时候,要求x、y的长度一致,w要是单位向量
(可查看22年试卷例题)
omega是指向alpha一侧的法向量
逆时针选择则两个sin的符号交换一下
酉矩阵 --- 正交阵
Hermite 矩阵 --- 对称阵
\(T\) 是酉变换;
\(T\) 保持向量长度不变;
\(T\) 将标准正交基映射为标准正交基;
\(T\) 在标准正交基下的矩阵为酉矩阵.
行列式因子是,特征矩阵的所有非零K级子式的。。。。
矩阵的行列式因子和不变因子在\(A(\lambda)\)的初等变换下是不变的.
\(A(\lambda)\)的初等变换最多使其行列式的值相差一个常数倍.
初等因子和不变因子都是方阵的相似不变量
方阵可相似对角化的充要条件是其初等因子全是一次多项式.
利用初等因子求矩阵的jordan标准型
分块矩阵可以分块求初等因子(全体)
矩阵A的特征矩阵,经初等变化为对角阵后为A的smith标准形
smith标准形的对角元为不变因子
方阵可以再转为对角阵(通过相似对角化)后进行幂的计算
诱导范数:
1-->是3列最大
无穷-->3行最大
矩阵的谱 就是其特征值集合
谱半径是最大的特征值
方阵的谱半径不超过其任意一个诱导范数
Hermite矩阵的谱半径即为2有道范数
类似方阵幂的计算
需要计算出相似变换矩阵以及相似变换矩阵的逆矩阵
对中间的对角阵或jordan标准阵计算函数或幂的方法如上
、
方阵函数存在条件:谱半径小于收敛半径
最小多项式的全部项的次数和为n,假设的g的最高次为n-1
两个函数在方阵A在谱上是一致的,方阵A的特征值的两个函数值以及两个函数的导数值相同
导数阶数到对应特征值的最小多项式的次数m,再减去1(即为m-1)
记住:
序列样本的分布函数
tao函数
均匀分布、指数分布、正态分布