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Lucas(卢卡斯定理)

时间:2023-06-13 18:00:35浏览次数:40  
标签:aC cp Lucas bx 定理 卢卡斯 equiv Sigma mod

\(C^m_n \equiv C^{m/p} _ {n/p} * C^{m \ mod \ p} _ {n \ mod \ p}\)

首先,我们可以知道如下定理

image

我们令 \(n = ap + b\),\(m = cp + d\)

则由二项式定理得 \((1+x)^n \equiv \Sigma_{i = 0}^nC^i_nx^i(mod \ p)\)---------(1)

由 \(n = ap + b\) 可知
\((1+x)^n \equiv (1+x)^{ap+b}\)

\((1+x)^n \equiv ((1+x)^{p})^a * (1+x)^b\)

由引理二可得

\((1+x)^n \equiv (1+x^p)^a * (1+x)^b\)

据二项式定理得

\((1+x^p)^a \equiv \Sigma_{i = 0}^aC^i_ax^{i * p}\)

\((1+x)^b \equiv \Sigma_{j=0}^bC^j_bx^j\)

\((1+x)^n \equiv \Sigma_{i = 0}^aC^i_ax^{i * p} * \Sigma_{j=0}^bC^j_bx^j\)

由于

\((1+x)^n \equiv \Sigma_{i = 0}^nC^i_nx^i(mod \ p)\)

\(\Sigma_{i = 0}^nC^i_nx^i \equiv \Sigma_{i = 0}^aC^i_ax^{i * p} * \Sigma_{j=0}^bC^j_bx^j\)

由(1)可知在 \(i=m\) 时 \(x^m\) 的系数为 \(C^m_n\)

在(2)中 \(x^m=x^{cp+d}=x^{cp} * x ^ {d}\)

带入可得

\(C^m_nx^m \equiv C^c_ax^{cp} * C^d_bx^d\)

\(C^m_nx^m \equiv C^c_aC^d_bx^{cp} * x^d\)

显然

\(C^m_n \equiv C^c_aC^d_b(mod \ p)\)

即 \(C^m_n \equiv C^{m/p} _ {n/p} * C^{m \ mod \ p} _ {n \ mod \ p}\)

标签:aC,cp,Lucas,bx,定理,卢卡斯,equiv,Sigma,mod
From: https://www.cnblogs.com/jueqingfeng/p/17478366.html

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