张宇1000题知识点

函数极限与联系

1. 当\(x\rightarrow 0\)时，若\(\alpha(x)x\rightarrow0\)，则有\(e^{\alpha(x)(1+x)}-1\sim \alpha(x) \ln(1+x)\sim \alpha(x)x\)，这可以视作\((1+x)^\alpha-1\sim \alpha x\)的推广。
2. 当\(x\to 0\)时，\(1-\cos^\alpha(x)\sim \frac{\alpha}{2}x^2\)。
3. 当\(x\to 0\)时，\(g(x)\)是\(x\)的\(n\)阶无穷小，\(f(x)\)是\(x\)的\(m\)阶无穷小，则\(\int_0^{g(x)}f(t)dt\)是\(x\)的\((m+1)n\)阶无穷小。
4. 积分的等价无穷小：当\(x\to0\)时，若\(f(x)\sim g(x)\)且\(\psi(x)~\Psi(x)\)，则有\(\int_0^{\psi}f(t)dt\sim\int_0^{\Psi}g(t)dt\)，证明过程参见https://blog.csdn.net/weixin_45775438/article/details/124805453。
5. 若\(\lim_{x\to \infty}f(x)-(ax+b)=0\)，则\(y=ax+b\)是\(f(x)\)的斜渐近线，进而可以求得\(a,b\)的值。
6. 需要分别考察左右极限的情形：1) 分段函数的分段点处（绝对值、取整函数） 2) \(e^\infty\)型 3) \(\arctan \infty\)型。
7. 当出现\(\ln f(x)-g(x)\)时，可以考虑写成\(\ln f(x)/e^{g(x)}\)的形式进而化简。
8. \(\lim_{x\to0^+} x^x=1\)。
9. \(\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a_1^n, a_2^n,...,a_m^n}=\max\{a_1, a_2,...,a_m\}\)，使用夹逼准则可证明。

数列极限

1. 对于数列的递推公式\(a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0\)，若求解特征方程\(x^2+px+q=0\)有两个不同的实根\(r1,r2\)，则\(a_n=C_1r_1^n+C_2r_2^n\)。
2. 关于\(\ln\)的两个重要不等式：1) \(\frac {x}{1+x}<\ln x <x\) 2) \(x-\frac {x^2}{2}<\ln x<x\)。