离散数学代数系统内容总结

前言：

  代数系统这部分内容，重点在二元运算（二元运算的基本定义及相关的性质），和群和子群（判断一个代数系统是否是群，群的次幂计算，群中元素的阶）。

二元运算：

   1.什么是二元运算：

   设S 为集合，函数 f : S×S→S 就称为 S 上的一个二元运算。

          S中任何两个元素都可以进行运算，且运算的结果惟一．

   验证一个运算是不是集合上的二元运算：封闭(参加运算的是 S 中的任意两个元素，并且最后运算结果仍为 S 中的一个元素)。

（参与的是每一个，最后结果不一定取遍所有元素）

（一般只要找到一个反例即可，找出运算后超出集合范围的情况）

      2.二元运算的基本性质：

   以下提到的几个定律跟数学中学到的是相似的，可以类比理解。

   ①交换律：

  设  是非空集合 A 上的二元运算，如果对于任意 a, bA，都有 ab ＝ ba，则称运
      算在 A上是可交换的（commutative），或称运算  在 A 上满足交换律；

     ②结合律：

  设 是非空集合A上的二元运算，如果对于任意a, b, cA，都有(ab)c＝a(bc)，则称运算在A上是可结合的(associative)，或称运算在A上满足结合律。此时连续的运算之间不必加括号；

     ③幂等律：

  设是非空集合 A 上的二元运算，如果对于任意 aA，都有aa＝a，则称运
算在 A 上是等幂的（idempotent），或称运算在 A 上满足幂等律；

满足aa＝a的元素a称作幂等元，满足幂等律的S集合所有元素都为幂等元，有幂等元不一定满足幂等律；

     ④分配律：

  设 ，* 是非空集合 A 上的二元运算，如果对于任意 a, b, cA，都有a(b*c) = (ab)*(ac)，及
(bc)*a = (b*a)(c*a)，则称二元运算对于*在 A 上具有分配性（distributive），或称运算对于*
在 A 上满足分配律（括号外运算对括号内运算符合分配律）

  注意：分配律要指明谁对谁是可分配的，不能笼统的讲适合分配律；

     ⑤吸收律：

  举例：

      3.二元运算的特殊元素：

  单位元和零元存在则唯一，而逆元与元素有关

  ①单位元（幺元）：

  设◦为S上的二元运算,  如果存在el (或er)S，使得对任意 x∈S 都有el◦x = x  (或 x◦er = x)， 则称el (或er)是S中关于◦运算的左(或右)单位元.  若e∈S关于◦运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上 关于◦运算的单位元. 单位元也叫做幺元. 

  与其他元素运算得到的是其他元素本身。

  ②零元：

      如果存在 l (或 r)∈S，使得对任意 x∈S 都有  l ◦x =  l  (或 x◦  r =  r)， 则称 l (或 r)是S 中关于◦运算的左(或右)零元.  若 ∈S 关于◦运算既是左零元又是右零元，则称为S上关 于运算◦的零元. 

  与其他元素运算还是自己。

  ③逆元：

  例如：

代数系统：

    1.代数系统的定义：

  非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2,…, fk组成 的系统称为代数系统, 简称代数，记做<S, f1, f2, …, fk>.

    2.代数系统的构成：

  集合（也叫载体，规定了参与运算的元素） 运算（这里只讨论有限个二元和一元运算） 代数常数（通常是与运算相关的特异元素：如单位元等）

    3.子代数：

  设V=<S, f1, f2, …, fk>是代数系统，B是S的非空子 集，如果B对f1, f2, …, fk 都是封闭的，且B和S含有相同的代 数常数，则称<B, f1, f2, …, fk>是V的子代数系统，简称子代 数. 有时将子代数系统简记为B. 

群与子群：

  1.群的定义：

  (1) 设V=<S, ∘ >是代数系统，∘为二元运算，如果∘运算是可结合的，则称V为半群.

  (2) 设V=<S,∘>是半群，若e∈S是关于∘运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫做独异点. 有时也将独异点V 记作 V=<S,∘,e>. 

  (3) 设V=<S,∘>是独异点，eS关于∘运算的单位元，若 任意a属于S，a的逆也属于S，则称V是群. 通常将群记作G.  

  群是封闭的，每个元素都有逆元

  2.群的相关术语： 

  3.元素的阶：

  定义： 设G是群，a∈G，使得等式 ak=e 成立的最小正整数 k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元. 若不存在这样的正 整数 k，则称 a 为无限阶元.

  4.子群：