358 P5897 [IOI2013]wombats
线段树维护矩阵乘法,注意到有决策单调性,复杂度 \(O(nC^2\log n)\),但是空间过大,我们递归到一个较小的区间时暴力计算即可,若阈值为 \(k\),空间会整体除 \(k\)。
359 P8275 [USACO22OPEN] 262144 Revisited P
先考虑一个序列的问题:
答案显然不超过最大值 \(X\) 加 \(\lceil\log n\rceil\),我们不妨先进行 \(<X\) 所有数的操作,进行完后能得到一个相邻两个至少一个 \(X\) 的序列(假设长为 \(l\)),答案即 \(X+\lceil\log l\rceil\)。
不会,有没有人来教育我一下!
咕咕咕。
360 P6277 [USACO20OPEN]Circus P
注意到一定能将状态变换为所有奶牛都在 \(1,2,\cdots,k\),因此可以用一个 \(k\) 排列刻画状态,只需考虑这些排列之间的等价关系。
等价关系一定是每次换一对奶牛,而换奶牛不会受编号影响,我们只需求出位置的等价类,答案即 \(\frac{k!}{\prod s_i!}\)(\(s_i\) 为第 \(i\) 个等价类大小)。
考虑如何判断两头奶牛 \(p,q\) 在同一等价类,我们提取出 \(p\) 到 \(q\) 的一条路径,若路径上能空出一个分叉来等待,我们一定能交换这两头奶牛。
我们只需考虑中间全为二度点的链,注意到两端能交换等价于链长小于 \(n-k\),于是两个点能交换等价于中间不存在长度大于等于 \(n-k\) 的全为二度点的链。
从大到小枚举 \(k\),于是只需处理连通块的合并,我们动态地维护所有极长不合法链,对于每个 \(k\) 暴力枚举每个不合法链讨论其贡献即可,这里是均摊线性的。
复杂度 \(O(n\log n)\)。
361 CF1832F Zombies
场上猜的是每次要么取 \(l\) 最小的一些,要么取 \(r\) 最大的一些,发现优化不了。
结论:所有门按照中点下标排序,选择同一个电网的一定是一段区间(证明可以考察函数图像)。
于是 wqs 二分,可能作为电网的区间只有 \(O(n)\) 个,每次 \(O(n^2)\) dp 一下即可。
362 CF1808E3 Minibuses on Venus (hard version)
场上只会 E2,十分抽象,可能是嫌麻烦吧。
枚举 \(s\),答案是所有存在一个 \(2v\equiv s\pmod k\) 的 \(v\) 的长为 \(n\),和为 \(m\)(模 \(k\))序列数量。
当 \(k\) 为奇数时,合法 \(v\) 恰好一个:
\[(\sum_{i=1}^{n-1}{n\choose i}(-1)^{i-1}k^{n-i-1})+(-1)^{n-1}[nv\equiv s\pmod k] \\=(-\frac1k\sum_{i=0}^n{n\choose i}(-1)^ik^{n-i})+k^{n-1}-\frac{(-1)^{n-1}}{k}+(-1)^{n-1}[nv\equiv 2v\pmod k] \\=-\frac{(k-1)^n+(-1)^{n-1}}{k}+k^{n-1}+(-1)^{n-1}[nv\equiv 2v\pmod k]\]对 \(v\) 求和:
\[=k^n-(k-1)^n-(-1)^{n-1}+(-1)^{n-1}\sum_v[nv\equiv 2v\pmod k]\\=k^n-(k-1)^n+(-1)^n(1-\gcd(n-2,k)) \]当 \(k\) 为偶数时,合法 \(v\) 有两个,差为 \(\frac k2\),类似地列出式子:
\[\sum_{1\leqslant i+j\leqslant n}(-1)^{i+j-1}{n\choose i,j,n-i-j}k^{n-i-j-1}-\frac{\sum_{i+j=n}(-1)^{n-1}{n\choose i}}k+(-1)^{n-1}(\sum_{2\mid i}{n\choose i}[nv\equiv 2v\pmod k]+\sum_{2\not\mid i}{n\choose i}[nv+\frac k2\equiv 2v\pmod k])\\=k^{n-1}-(\sum_{0\leqslant c\leqslant n}{n\choose c}2^c(-1)^ck^{n-c-1}-\frac{2^n(-1)^n}{k})+C \\=k^{n-1}-\frac{(k-2)^n-(-2)^n}{k}+C\]把 \(C\) 拿出来推一下:
\[(-1)^{n-1}(\sum_{2\mid i}{n\choose i}[nv\equiv 2v\pmod k]+\sum_{2\not\mid i}{n\choose i}[nv+\frac k2\equiv 2v\pmod k]) \\=(-2)^{n-1}([nv\equiv 2v\pmod k]+[nv+\frac k2\equiv 2v\pmod k])\]注意到两条只能成立一条,因此可以写成 \([nv\equiv 2v\pmod{\frac k2}]\)。
求和有:
\[\frac{k^n-(k-2)^n+(-2)^n}{2}+(-2)^{n-1}\sum_{v=0}^{\frac k2-1}([nv\equiv 2v\pmod{\frac k2}]]) \\=\frac{k^n-(k-2)^n+(-2)^n}{2}+(-2)^{n-1}\gcd(n-2,\frac k2)\]复杂度 \(O(T+\log n)\)。
363 ARC160F Count Sorted Arrays
为啥都会????我觉得很难啊。
根据排序网络经典结论,只需对所有 01 序列分别考察排序后的结果。我们将排列双射成一个 01 序列组,每一项都是后一项的子集,其为 \(n\) 阶 hypercube 从 \((0,0,\cdots,0)\) 到 \((1,1,\cdots,1)\) 的一条路径。
一个排列能被还原当且仅当其路径上所有 01 序列都能被还原,我们动态维护还不能被还原的 01 序列,每次加入操作时检查并更新答案。更新答案需要维护 hypercube 每个位置到 \((0,0,\cdots,0)\) 与 \((1,1,\cdots,1)\) 的路径数量,容易在 \(O(n3^n)\) 内计算。
364 loj#3607. 「PA 2021」Wystawa
这能做?????????????然而 hzr 的确是会做的,脚盆队长实力强劲,欢迎大家加入粉丝群 706094232。
做点讨论将题意转化为 \(a_i\geqslant b_i\),\(a\) 中不超过 \(k\) 个数变为 \(b\),具体地:
- 若 \(a_i\geqslant b_i\) 的数不少于 \(k\),我们每次一定操作这种数,只需将其余 \(b_i\) 赋值为 \(a_i\);
- 否则,我们一定把这些数操作完,然后 swap(a,b) 变为类似的问题。
二分答案,直接列出 dp,\(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个位置,\(j\) 次操作的答案,容易发现其有凸性,于是考虑 slope trick,将转移写出来:
\[f_{i,j}=\max(\min(f_{i-1,j}+a_i,f_{i-1,j-1}+b_i),0) \\=\max(\min(f_{i-1,j},f_{i-1,j-1}+b_i-a_i)+a_i,0)\]每次转移完成后将 \(f\geqslant mid\) 的 dp 值删掉并更新答案。
差分数组不降,其等价于差分数组插入 \(b_i-a_i\),整体平移容易维护,对 \(0\) chkmax 只需 popback,使用 set 维护即可,复杂度 \(O(n\log n)\)。
365 ARC159E Difference Sum Query
将问题结构建立出来,其事实上是在一个二叉搜索树上找一个点,每个结点恰好对应一个值。注意到答案就是虚树大小,我们类似线段树定位一下区间就能算出来了。
复杂度 \(O(Q\log n)\)。
366 ARC138E Decreasing Subsequence
挺不错的题,zyf 之前搬到模拟赛过。
我们考察所有 \(a_i\) 不为零的 \(i\rightarrow a_i-1\) 构成的一张图,那么图由编号递减的链组成。
我们考察上升序列 \(i_1,i_2,\cdots,i_k\),注意到 \(a_{i_1}\leqslant i_1\),于是有 \(a_{i_k}-1<a_{i_{k-1}}-1<\cdots<a_{i_1}-1<i_1<i_2<\cdots<i_k\),且序列对称部分有边,因此这些边一定分布在 \(k\) 条不同的链上。
于是就能做了,枚举链上左侧点数 \(A\),右侧点数 \(B\),分配方案数为第二类斯特林数,非这些链上的点任意分配成链方案数为贝尔数,答案即:
\[\sum_A\sum_B{n+1\choose A+B}{A\brace k}{B\brace k}B_{n+1-A-B} \]卷积即可做到 \(O(n\log n)\),平方也可通过。
367 Yuhao Du Contest 11 M Minimum Element Problem
ZR 考过,补一下,还是挺有意思的。
类似 CF104008J Permutation Puzzle,注意到只需关心填数的上下界,内部的数一定能取到,差分后问题变为统计 \(\operatorname{dep}_x,\operatorname{size}_x\) 的分布(分别对应下界与上界)。
\(\operatorname{size}_x\) 较简单,注意到在一颗二叉树上,插入一个排名固定的结点方案始终唯一,因此子树外的方案数始终为大小为 \(n-\operatorname{size}_x\) 的二叉树数量,而子树内部并不完全一致,因为左子树大小不能超过 \(X-1\),右子树大小不能超过 \(n-X\),因此要分别算出方案做卷积。
\(\operatorname{dep}_x\) 的计算需要发现一个关键性质——\(X\) 左右侧的计数是独立的,我们只有对其子树大小的限制,求出两侧答案后卷积即可得到答案。以左侧为例,此时问题变为计数点数为 \(X-1\),根的连续右儿子数量为 \(k\) 的二叉树数量,这个东西叫卡特兰数的 \(k\) 次卷积,做法大概是:
使用兄弟儿子表示法与括号序刻画结构,再写出格路,注意我们只要求这个序列有 \(i\) 个连续括号作为结尾,使用折线法 \(O(1)\) 计算即可。
复杂度 \(O(n\log n)\)。
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