场论的基本内容与应用
场论的基本公式
梯度
我们导出过标量函数\(f\)的全微分和偏导数的关系：
\[df(x,y,z)=\dfrac{\partial f}{\partial x}dx+\dfrac{\partial f}{\partial y}dy+\dfrac{\partial f}{\partial z}dz \]它表示函数增量的线性部分可以表示为各个坐标方向的偏导数与自变量变化量的乘积。如果把这个乘积的和看作向量的点乘形式，那么可以把全微分看作向量\(\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)\)与位置矢量的微分\(\left(dx,dy,dz\right)\)的点乘。前面这个向量可以看作是一个一般的“向量”\(\left(\dfrac{\partial }{\partial x},\dfrac{\partial }{\partial y},\dfrac{\partial }{\partial z}\right)\)作用在了函数\(f\)上。我们就把这个“向量”用记号\(\nabla\)表示，它是一个算子，作用在标量函数上就得到了一个由偏导数构成的向量。于是我们可以写出
\[df=\nabla f \cdot d\vec r \]其中\(\nabla f\)就称为\(f\)的梯度。
梯度的几何含义是：梯度的方向是函数“增长最快”的方向。这里的增长最快是指方向导数最大。事实上，我们可以给出一个方向导数和梯度的关系。\(f\)在\((x_0,y_0,z_0)\)处沿方向\(\vec n=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\)的方向导数\(\dfrac{\partial f}{\partial \vec n}\)（其中\(n\)是单位向量）根据定义为
\[\dfrac{\partial f}{\partial \vec n}=\lim\limits_{t \to 0^+}\dfrac{f(\vec r_0+t\vec n)-f(\vec r_0)}{t} \]当\(t \to 0^+\)时，函数的增量部分可以用全微分代替，因此\(f(\vec r_0+t\vec n)-f(\vec r_0) \to \dfrac{\partial f}{\partial x} \cdot (t\cos \alpha)+\dfrac{\partial f}{\partial y} \cdot (t\cos \beta)+\dfrac{\partial f}{\partial z} \cdot (t\cos \gamma)\)。因此根据我们的梯度记号直接得到
\[\dfrac{\partial f}{\partial \vec n} = \nabla f \cdot \vec n \]即方向导数等于函数的梯度向量与指示方向的单位法向量的点乘。而根据点乘的几何意义，\(\nabla f \cdot \vec n \leq \|\nabla f\| \cdot \|\vec n\|=\|\nabla f\|\)，在\(\nabla f\)与\(\vec n\)通向时取到等号。即方向导数当且仅当方向向量与梯度向量同向时取到最大值。
标量函数的梯度满足公式
\[\psi(\vec r_2)-\psi(\vec r_1)=\int\limits_{\Gamma} \nabla \psi \cdot d\vec s \]称为“梯度定理”。其中\(\Gamma\)是任意一条以\(\vec r_1\)为起点，\(\vec r_2\)为终点的光滑曲线。把右侧写成Riemann和的形式\(\sum\limits \nabla \psi \cdot \vec \tau \ ds\)，而根据方向导数的定义\(\nabla \psi \cdot \vec \tau\)就是\(\psi\)沿\(\tau\)方向的方向导数。因此\(\nabla \psi \cdot \vec\tau \ ds\)就表示函数\(\psi\)从弧微元\(ds\)的起点到终点过程中发生的增量，把它累加自然就是\(\psi\)在整条曲线上起点到终点的增量。
散度
对于空间中的区域\(\Omega\)，成立
\[\displaystyle\iint\limits_{\partial \Omega}\vec F \cdot \vec{n}dS=\iiint\limits_{\Omega}\nabla \cdot \vec FdV \]也写作\(\displaystyle\iint\limits_{\partial \Omega}Pdy \and dz+Qdz \and dz + R dx \and dy=\iiint\limits_{\Omega}\left(\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}\right)dxdydz\)。也就是说，对于空间中的向量场，如果我们在给定区域的边界上对向量做一圈积分，它一定等于\(\left(\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}\right)\)在整个区域上做积分。我们这样来理解：假如把区域划分成小长方体，每个矩形的左下角设为\((x,y,z)\)，那么在边界上的积分为：\(x\)方向近似为\(-P(x,y,z)\Delta y\Delta z +P(x+\Delta x,y,z)\Delta y\Delta z \approx \dfrac{\partial P}{\partial x}\Delta x \Delta y\Delta z\)。其它方向同理。因此边界上的整个积分近似为\(\left(\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}\right)\Delta x\Delta y\Delta z\)。把小立方体拼成给定区域时，重叠部分依然相互抵消了，只留下最外围的积分。
\(\left(\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}\right)\)这一项可以写成\(\nabla \cdot F\)，这里的点乘是形式上的点乘。它被称为“散度”，因此Gauss公式也被称为“散度定理”。我们想知道散度的几何意义是什么：把Gauss公式的右侧用积分中值定理写成\(|\Omega|(\nabla \cdot \vec F(P_0))\)，那么Gauss定理可以写作\(\dfrac{\displaystyle\iint\limits_{\partial \Omega}\vec F \cdot \vec{n}dS}{|\Omega|}=\nabla \cdot \vec F(P_0)\)。如果我们保证\(P_0\)始终包在\(\Omega\)内部，并且不断缩小左侧的\(\Omega\)，那么这个过程的极限值就是右侧的散度，即\(\lim\limits_{\Omega \to P_0}\dfrac{\displaystyle\iint\limits_{\partial \Omega}\vec F \cdot \vec{n}dS}{|\Omega|}=\nabla \cdot \vec F(P_0)\)，而左侧反应的就是穿出包含\(P\)的一小圈曲面的通量，它反应的就是\(P_0\)点附近向量场的“发散情况”。如果\(P\)是“源点”，散度就为“正”，如果是“汇点”，散度就为“负”，如果既不是源点也不是汇点，散度就为0。
旋度
Stokes公式指出
\[\displaystyle\int\limits_{\partial \Sigma}\vec F \cdot \vec{\tau}ds=\iint\limits_{\Sigma}(\nabla \times \vec F)\cdot d\vec S \]分量形式为\(\displaystyle\int\limits_{\partial \Sigma}Pdx+Qdy+Rdz=\iint\limits_{\Sigma}\left(\dfrac{\partial R}{\partial y}-\dfrac{\partial Q}{\partial z}\right)dy\and dz+\left(\dfrac{\partial P}{\partial z}-\dfrac{\partial R}{\partial x}\right)dy\and dz+\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dy\and dz\)。向量场在曲面边界上的积分等于\(\nabla \times \vec F\)在曲面上的通量。
Stokes公式其实是三维情形下的Green公式。Green公式指出，对于平面上的一个向量场，如果我们在给定区域的边界上对向量做一圈积分，它一定等于\(\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\)在整个区域上做积分。即\(\displaystyle\int\limits_{\partial D}Pdx+Qdy=\iint\limits_{D}\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\)。对于Green公式我们这样来理解：假如我们能把平面划分成微小的矩形，每个矩形的左下角设为\((x,y)\)，那么向量在这个矩形的边界上做积分是容易计算的：\(x\)方向的积分是上下两条边上的积分，可以近似为\(P(x,y)\Delta x - P(x,y+\Delta y)\Delta x \approx -\dfrac{\partial P}{\partial y}\Delta x \Delta y\)。同样的，对于\(y\)方向也有\(Q(x+\Delta x,y)\Delta y - Q(x,y)\Delta y \approx \dfrac{\partial Q}{\partial x}\Delta x \Delta y\)。因此整个环路积分就近似为\(\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\Delta x\Delta y\)。现在当我们把所有微小矩形拼成给定的区域时，我们发现重叠部分的路径积分相互抵消，只留下最外围的路径的积分，这些积分凭借起来就是向量场在区域边界上的积分，因此\(\sum \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\Delta x\Delta y\)就等于边界上的积分\(\displaystyle\int\limits_{\partial D}Pdx+Qdy\)。
现在从三维角度来理解Green公式，它可以理解为向量场在某个平面上的分量绕平面边界的环路积分等于\((\nabla \times \vec F)\)这个奇特的项在垂直平面方向上的分量在平面上积分。现在我们依然把曲面分成无数个小平面片，对于每个平面片，我们是否分解向量对环路积分是不会产生影响的，而奇特的项的积分相当于乘以小平面片的面积，这样就得到：向量场在小平面片边界上的环路积分等于\(\nabla \times \vec F\)垂直平面的分量乘以平面片面积。于是把所有小平面片累加，得到向量场在曲面边界上的环路积分等于\(\nabla \times \vec F\)在曲面上的通量。
其中\(\nabla \times \vec F\)称为“旋度”，用行列式可以写作\(\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\\partial_x & \partial_y & \partial_z\\P&Q&R\end{vmatrix}\)。同样地，把Stokes公式的右侧用积分中值定理写成\(|\Sigma|(\nabla \times \vec F(P_0))\)，那么Stokes定理可以写作\(\dfrac{\displaystyle\int\limits_{\partial \Sigma}\vec F \cdot \vec{\tau}ds}{|\Sigma|}=\nabla \times \vec F(P_0)\)。保证\(P_0\)包在\(\Sigma\)内部不断缩小\(\Sigma\)，极限值就是右侧的旋度，即\(\lim\limits_{D \to P_0}\dfrac{\displaystyle\iint\limits_{\partial \Sigma}\vec F \cdot \vec{\tau}ds}{|\Sigma|}=\nabla \times \vec F(P_0)\)，左侧是绕\(P_0\)一小圈的线积分，它反应的就是\(P_0\)点附近向量场的“旋转情况”。如果向量场正好以某种方式绕\(P_0\)旋转，旋度就不为0。
向量场的微商
从梯度、散度、旋度的定义中可以看到，在某个空间的边界上对函数做积分都相应的等价为梯度、散度、旋度在整个空间上做积分。所以我们可以把梯度、散度和旋度理解为“向量场的某种微商”。根据我们的记号，这三种微商分别记为\(\nabla f,\nabla \cdot \vec F,\nabla \times \vec F\)。其中“梯度”必须作用在标量上，而“散度、旋度”必须作用在向量上。
梯度、散度、旋度分别是对向量场做了一阶的微商。那如果做二阶微商会得到哪些结果呢？在这个过程中，我们把\(\nabla\)记号当作向量一样根据向量的法则参与运算，其中梯度对应着向量的数乘， 散度就对应着向量的点乘，旋度就对应着向量的叉乘，那么二阶微商其实就是向量的“混合积”。但这只是我们在形式上产生的直观的理解，下面我们依次来推导：
梯度的旋度
我们可以证明
\[\nabla \times (\nabla f)=0 \]它“对应着”混合积中的运算法则\(\vec v\times (c\vec v)=c(\vec v \times \vec v)=0\)，因为两个相同的向量夹角为0因此叉积为0。我们根据旋度和梯度的定义来验证确实如此：
\[\begin{aligned} &\left(\dfrac{\partial }{\partial x},\dfrac{\partial }{\partial y},\dfrac{\partial }{\partial z}\right) \times \left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},\dfrac{\partial f}{\partial z}\right)\\=&\left(\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}-\dfrac{\partial^2 f}{\partial z\partial y},\dfrac{\partial^2 f}{\partial z\partial x}-\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial z},\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}-\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\right)\\=&(0,0,0) \end{aligned} \]它指出由一个标量函数的梯度构成的向量场的旋度处处为0，简称梯度的旋度为0。有趣的是把这个命题反过来，一个旋度处处为0的场是否一定是某个标量函数的梯度呢，即旋度为0能否推出这个矢量场是“有势场”？要证明一个场是“有势场”等价于证明任何环路的积分都为0，而这是显然的——根据Stokes公式，任何环路的积分就等于其旋度在以这个环路为边界的空间上的积分，而旋度始终为0，所以这个积分也始终为0，因此任何环路的积分都必须等于0，因此这个场必然是有势场。