Numbered Checker

题意

有一个 \(n\times m\) 的方格矩阵，左上角是 \((1,1)\)，右下角是 \((n,m)\)，每个方格中都有一个整数，其中 \((x,y)\) 中的数字为：

• 如果 \(x+y\) 是奇数，则 \((x,y)\) 中的数字为 \(0\)。
• 否则，\((x,y)\) 中的数字为 \((x-1)\times m + y\)。

有 \(Q\) 组询问，每组询问给定四个整数 \(a,b,c,d\)，求所有满足要求的 \((i,j)\) 中的数字之和：

• \(a \leqslant i \leqslant b\)。
• \(c \leqslant j \leqslant d\)。

答案对 \(998244353\) 取模。

思路

等差数列求和。

对于每组询问

暴力时间复杂度：\(O(n\times m)\)，爆炸。

推导壹

就拿第一个样例举例子。

可以很明显地发现，奇数行与偶数行排列虽然不太一样，但两者都是等差数列，且公差为 \(2\)。

经过仔细地推导(不给推导过程，自己推去)，我们可以发现：

• 对于 \(a+c\) 为奇数的情况下：
  • 第 \(a\) 行的等差数列首项为 \((a,c+1)\)，项数为 \(\frac{d-c+1}{2}\)。
  • 第 \(a+1\) 行的等差数列首项为 \((a+1,c)\)，项数为 \(1+\frac{d-c}{2}\)。
• 对于 \(a+c\)​ 为偶数的情况下：
  • 第 \(a\) 行的等差数列首项为 \((a,c)\)，项数为 \(\frac{d-c}{2}+1\)。
  • 第 \(a+1\) 行的等差数列首项为 \((a+1,c+1)\)，项数为 \(\frac{d-c+1}{2}\)。

(以上除法均需带有向下取整)。

时间复杂度：\(O(n)\)，还是不够优秀。

推导贰

可以发现，行与行之间也是等差数列！公差为 \(2m\)。

令当前询问第 \(a\) 行的等差数列之和为 \(sum\)，项数为 \(p\)；第 \(a+1\) 行的等差数列之和为 \(num\)，项数为 \(q\)。

还是不给推导过程，答案就可以变成两个等差数列：

• 第一个：以 \(sum\) 为首项，公差为 \(2\times m\times p\)，项数为 \(\frac{b-a}{2}+1\)。
• 第二个：以 \(num\) 为首项，公差为 \(2\times m\times q\)，项数为 \(\frac{b-a+1}{2}\)。

求出两个等差数列之和，将其加起来就是答案啦，注意取模细节。

时间复杂度：\(O(1)\)。

复杂度

• 时间：\(O(Q)\)。
• 空间：\(O(1)\)。

Code

#include <iostream>

using namespace std;
using ll = long long;

const int mod = 998244353;

ll n, m, t, a, b, c, d, p, q, sum, num;

ll id (ll x, ll y) { // 将坐标转数值
  return ((x - 1) * m + y) % mod;
}

ll Sum (ll s, ll d, ll n) { // 等差数列求和公式
  return (s * n + n * (n - 1) / 2 % mod * d % mod) % mod;
}

int main () {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  for (cin >> n >> m >> t; t; t--) {
    cin >> a >> b >> c >> d;
    p = (d - c + 1) / 2, q = (d - c) / 2 + 1;
    if ((a + c) % 2) {
      sum = Sum(id(a, c + 1), 2, p), num = Sum(id(a + 1, c), 2, q); // 套用公式
    } else {
      swap(p, q);
      sum = Sum(id(a, c), 2, p), num = Sum(id(a + 1, c + 1), 2, q);
    }
    cout << (Sum(sum, 2 * m * p % mod, (b - a) / 2 + 1) + Sum(num, 2 * m * q % mod, (b - a + 1) / 2)) % mod << '\n'; // 各种取模细节
  }
  return 0;
}