Transportation

题意

有 \(n\) 个城市，你可以执行以下操作若干次：

• 选择一个没有建机场的城市 \(i\)，花费 \(x_i\) 建一个机场。
• 选择一个没有建港口的城市 \(i\)，花费 \(y_i\) 建一个港口。

还有 \(m\) 条没有修建的道路，第 \(i\) 条道路双向连接 \(a_i\) 和 \(b_i\)，修建这条道路需要花费 \(z_i\)。

两个城市 \(u\) 和 \(v\) 直接可达当且仅当：

• \(u\) 和 \(v\) 都有机场。
• \(u\) 和 \(v\) 都有港口。
• \(u\) 和 \(v\) 直接有一条道路。

求最小花费，使得从任意一个城市 \(u\) 可以在经过若干城市后抵达任意一个城市 \(v\)。

思路

这题只考建图和最小生成树。

初步考虑

首先，不看机场和港口，那么就变成了一个最小生成树问题。

特殊情况

那么有机场呢？画张草图看看吧。

上面那种建图方式，就是在两个有机场的城市间建边，不仅难以维护花费，你也不知道有多少个城市建了机场，建图方式不够优秀。

优化建图

这种建图方式值得思考。

根据题意，两个有机场的城市可以互相抵达，相当于有一个机场聚集地，设立机场的城市可以来到这个聚集地，并从这里走向另外一个设立机场的城市。

那么维护起来就很方便了，假定机场聚集地在 \(n+1\)，那么就可以把 \(i = 1,2\cdots n\) 中的每个 \(i\) 都向 \(n + 1\) 建立一条候选边，边权为 \(x_i\)。

上图就会变成：

港口同理，将聚集地设置为与机场聚集地不同的一个即可(也不能和任何一座城市下标相同)，建议设为 \(n+2\)。

最后思考

可我并不知道是否要通过建立机场来互相抵达啊？

这个也不难，枚举是否建立机场和是否建立港口，跑一遍克鲁斯卡尔，求出 \(4\) 种情况中花费最小值即可。

复杂度

• 时间：\(O(4\times(2n+m) \log (2n+m))\)。
• 空间：\(O(2n+m)\)。

Code

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 2e5 + 10, E = 6e5 + 10;

struct Edge {
  int x, y, z;
  bool operator < (const Edge &i) const {
    return z < i.z;
  }
} e[N], a[E];

int n, m, x[N], y[N], fa[N], ae;
ll ans = 1e18;

int Find (int x) {
  return (fa[x] ? fa[x] = Find(fa[x]) : x);
}

ll kruskal (bool f1, bool f2) { // 克鲁斯卡尔算法
  ll sum = 0;
  int num = 0;
  sort(a + 1, a + ae + 1);
  for (int i = 1; i <= ae; i++) { // 这些不用说了吧
    int l = Find(a[i].x), r = Find(a[i].y);
    if (l != r) {
      sum += a[i].z, num++, fa[l] = r;
    }
  }
  if (num == n + f1 + f2 - 1) { // 注意！题目并不保证在只走普通道路的情况下一定合法，需判断
    return sum;
  }
  return 1e18;
}

int main () {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> x[i];
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> y[i];
  }
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    cin >> e[i].x >> e[i].y >> e[i].z;
  }
  for (int i = 0; i < 2; i++) { // 是否建立机场
    for (int j = 0; j < 2; j++) { // 是否建立港口
      for (int k = 1; k <= n + 2; k++) {
        fa[k] = 0; // 先清空
      }
      ae = 0;
      for (int k = 1; k <= m; k++) { // m 条道路
        a[++ae] = e[k];
      }
      if (i) { // 走机场
        for (int k = 1; k <= n; k++) {
          a[++ae] = {k, n + 1, x[k]};
        }
      }
      if (j) { // 走港口
        for (int k = 1; k <= n; k++) {
          a[++ae] = {k, n + 2, y[k]};
        }
      }
      ans = min(ans, kruskal(i, j));
    }
  }
  cout << ans;
  return 0;
}