重要参考
以下是我的整理
一、学习的思路
我们熟知的是整数阶的微积分定义，分数阶微积分的定义一般就是由已知的定义推导而来的。所以学习之前需要看看整数阶微积分的定义再推分数阶即可。
在粘弹性研究中一般使用的是 Riemann-Liouville 分数阶导数定义，我就先主要学习这个。如果用上述定义，那么就得先学习分数阶积分定义，再用整数解导数。所以看似学习分数阶积分，实际上学的是分数阶积分的定义。
二、前置知识
1.柯西重复积分公式
重复积分的定义：
\[\begin{align} I^{(0)}(x)&=f(x)\\[1.2ex] I^{(1)}(x)&=\int^xf(t)\ dt\\[1.2ex] I^{(2)}(x)&=\int^x\int^{t_1}f(t_2)\ dt_2\ dt_1\\[1.2ex] \cdots\\[1.2ex] I^{(n)}(x)&=\int^x\int^{t_1}\cdots \int^{t_{n-1}}f(t_{n-1})\ dt_{n-1}\ dt_{n-2} \cdots\ dt_2 \ dt_1\\[1.2ex] I^{(n)}(x)&=\int^xI^{(n-1)}(t)\ dt\\[1.2ex] \end{align} \]简单说就是 \(I^{(n)}(x)\) 就是对 \(f(x)\) 求 \(n\) 次积分。
推导柯西重复积分:
2.\(\Gamma\)函数
在推导分数阶积分的公式的时候用到。在这里只需要知道Gamma函数是阶乘概念的推广即可。
\[\Gamma(n+1)=n! \]因此上面推导的柯西重复积分定义
\[I^{(n)}(x)=\dfrac{1}{\Gamma(n)}\int^x (x-t)^{n-1}f(t)dt \]三、R-L 分数阶积分
如前所述，学习 Riemann-Liouville 分数阶导数定义之前，先要学习分数阶积分的概念。
记导数算子为 \(D\)，即
\[Df(x)\triangleq\dfrac{df}{dx},D^2f(x)\triangleq\dfrac{d^2f}{dx^2},\cdots,D^nf(x)\triangleq\dfrac{d^nf}{dx^n} \]记 \(_aD_x^{-1}\) 表示变上限积分，即
\[\begin{align} _aD_x^{-1}f(x)&\triangleq\int_a^xf(t)dt \\[2ex] _aD_x^{-2}f(x)&\triangleq_aD_x^{-1}\left(_aD_x^{-1}f(x)\right)\\[2ex] &\cdots\\[2ex] _aD_x^{-n}f(x)&\triangleq_aD_x^{-1}\left(_aD_x^{n-1}f(x)\right),\ x>a \end{align} \]易知道，对任意正整数 \(n\)，都有
\[D^n\left(_aD^{-n}_x f(x)\right)=f(x) \]下面讨论 \(n\) 重变上限积分 \(_aD_x^{-n}f(x)\) 的表达形式：
\[_aD_x^{-n}f(x)=\int_a^xd\tau_1\int_a^{\tau_1}d\tau_2\cdots\int_a^{\tau_{n-1}}f(\tau_n)d{\tau_n} \]由重积分的Cauchy公式，可得：
\[_aD_x^{-n}f(x) =\dfrac{1}{(n-1)!}\int_a^x(x-\tau)^{(n-1)}f(\tau)d\tau =\dfrac{1}{\Gamma(n)}\int_a^x(x-\tau)^{(n-1)}f(\tau)d\tau \]由于Gamma函数对任意正实数都有定义，因此我们可以其推广到任意正实数情形。
3.1分数阶积分定义
设 \(a>0\)，\(f(x)\in L_1[a,b]\)，则 \(f(x)\) 的 \(\alpha\) 阶微积分为：
\[_aD_x^{-\alpha}f(x)=\dfrac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^x(x-\tau)^{(\alpha-1)}f(\tau)d\tau \]虽然名称中是"分数阶",但事实上是对任意正实数都有定义
显然，当 \(\alpha\) 是正整数时， \(_aD_x^{-\alpha}\)就是通常意义下的整数阶积分。
如果 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则可以证明：
\[\lim\limits_{a\to 0}{_aD_x^{-\alpha}f(x)}=f(x) \]通常记为
\[{_aD_x^{0}f(x)}=f(x) \]上面定义的是左分数阶导数，这是因为 \(f(x)\) 在 \(x\) 点的分数阶导数是通过 \(f(x)\) 在区间 \([a, x]\) 中的值来表示的。实际上还可以定义右分数阶导数。一个代表 “过去”, 而另一个代表 “未来”
3.2分数阶积分的存在性
参看 华东师范大学 潘建瑜 教授 第一讲 分数阶微分方程
3.3分数阶积分的性质
参看 华东师范大学 潘建瑜 教授 第一讲 分数阶微分方程
四、Riemann-Liouville分数阶导数
Riemann-Liouville 分数阶导数是历史上最早的分数阶导数定义, 也是目前理论研究相对较完善的分数阶导数.
设 \(\alpha>0\) 是任意正实数， \(n\) 是大于 \(\alpha\) 的最小正整数，即 \(0\le n-1\le\alpha<n\) ,则 R-L 分数阶导数定义为：
\[_aD_x^{\alpha}f(x)=D^n(_aD_x^{\alpha-n}f(x))=\dfrac{1}{\Gamma(n-a)}\dfrac{d^n\left(\int_a^x\dfrac{f(\tau)}{(x-\tau)^{(\alpha-n+1)}}d\tau\right)}{dx^n} \]即先做 \(n-\alpha\) 次分数阶积分，然后再求 \(n\) 次导数。我们注意到 \(0<n-\alpha\le1\)。
引理
引理1
引理2
引理3
