NeRF_b
Basic
Radon Transform
- 直线的形式
其中\(\theta\)是原点到直线的垂线与\(x\)轴的正向夹角，\(\rho\)为原点到直线的距离。
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函数在直线上的积分
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给定一个函数\(f(x,y)\),在线段上的积分可以表示为
- \[\int_Lf(x,y)ds \]
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Radon变换:
- \[Radon(\rho,\theta)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dl \]
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可以借住\(\delta\) 函数求解
- \[\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\delta(xcos\theta+ysin\theta-p)dxdy \]
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其中
\[\delta(x)=\begin{cases} 1\ x=0\\ 0\ else \end{cases} \]
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实际应用：
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对于每一组\(\rho ,\theta\)都会有对应的函数线积分值\(g_{ij}\)
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拉东反变换
- \[f(x,y)=\int\int_{R^2}\frac {dk_xdk_y}{2\pi^2}F(k_x,k_y)e^{i(k_xx+k_yy)} \]
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实质上是二维傅立叶逆变换
- 结合的应用
- 左侧为投影，右侧为Radon反变换（即传感器采集到的数据）
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- 换一个投影角度\(\theta(\rho固定)\)
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- 两个投影加和
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- 多个角度加和合成
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- 左侧为投影，右侧为Radon反变换（即传感器采集到的数据）
Central Slice Theorem
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二维图像的中心切片定理指出：二维函数 f(x, y) 的投影 p(s) 之傅里叶变换 P(ω) 等于函数 f(x, y) 的傅里叶变换 F(ωx, ωy) 沿与探测器平行的方向过原点的片段。
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\(x\)轴上的变换
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\(f(x,y)\)在\(x\)轴上边得投影:
- \[p(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy \]
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\(f(x,y)\)傅立叶变换
- \[F(k_x,k_y)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-2\pi i(k_xx+k_yy)}dxdy \]
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切片（slice）\(s(k_x)\)
- \[\begin{align} s(k_x)=f(k_x,0)&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-2\pi ik_xx}dxdy\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy]e^{-2\pi ik_xx}dx\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}p(x)e^{-2\pi ik_xx}dx\\ \end{align} \]
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也就是\(p(x)\)的傅立叶变换
非\(x\)轴
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示踪剂的空间分布函数可以用\(f(x,y)\)表示，
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\[p(s,f)=\int_{-\infty}^{\infty}f(s\cos f-t\sin f,s\sin f+t\cos f)dt
\]
- 其中\(s\)为投影线到中心的距离，\(\phi\)是投影角度，如上图b所示
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\[p(s,f)=\int_{-\infty}^{\infty}f(s\cos f-t\sin f,s\sin f+t\cos f)dt
\]
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2D central slice theorem
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\[F(\omega_s cosf,\omega_ssinf)=P(\omega_s;f)
\]
- 即：二维的傅立叶变换后的函数的某条过中心的线=一维的傅立叶变换后的某条相同\(\phi\)下的函数。
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其中一维和二维的傅立叶变换分别为
- \[F(\omega_x,\omega_y)=\int\int f(x,y)e^{-2\pi i (\omega_xx+\omega_yy)} \]
- \[P(\omega)=\int p(s)e^{-2\pi i \omega s} \]
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\[F(\omega_s cosf,\omega_ssinf)=P(\omega_s;f)
\]
Fourier Transform
初步理解
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Almost-Fourier-Transform
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单独信号（波形）的近傅立叶变换等于信号叠加的近傅立叶变换（图像的质点）
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“缠绕图像”的复平面表示
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\(g(t)\)对于圆轨迹进行了直径上的缩放
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捕捉质心的x坐标：取样点/积分找到对应图像中x坐标
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积分形式：
- \[\frac 1{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}-g(t)e^{-2\pi ift}dt \]
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对于实际的傅立叶变换，我们采用以下形式，而不是直接考虑x坐标，
- \[\hat g(f)=\int_{t_1}^{t_2}-g(t)e^{-2\pi ift}dt \]
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其中，\(t_1,t_2\)通常情况下会趋向于无穷
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基础概念
- 时域角度：每一时刻的振幅
- 频域角度：\(f\)
- e.g.
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-
- e.g.
傅立叶变换
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对于连续时间信号\(x(t)\),若在\(t\)上可积,即
- \[\int_{-\infty}^{\infty}\abs {x(t)^2}dt\lt\infty \]
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则有\(x(t)\)的傅立叶变换：
- \[X(j\omega)=\frac 1 T\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{j\omega t}dt \]
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\(j\omega\)是频域的函数
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逆变换为
- \[X(t)=\frac 1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)e^{-j\omega t}d\omega \]
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密度函数和时域函数的互推
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离散傅立叶变换（DFT）
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定义：是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。
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公式：
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对于N点序列\(x[n]_{0\le n\le N}\)
- \[X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}e^{-j\frac {2\pi}{N}nk}x[n] \]
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展开后为
- \[X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n][\cos{\frac {2\pi}{N}kn-jsin(\frac {2\pi}{N}kn)}] \]
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快速傅立叶变换
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其本质是实现离散傅立叶变换的一种优化算法，将时间复杂度从O(N2)降低为O(NlgN),其中N为待计算序列的长度。
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按照奇偶分组(分治思想)
- \[\begin{align} X[k]&=\sum_{r=0}^{N/2-1}x[2r]W_N^{2rk}+\sum_{r=0}^{N/2-1}x[2r+1]W_N^{(2r+1)k}\\ &=\sum_{r=0}^{N/2-1}x[2r]W_{N/2}^{rk}+\sum_{r=0}^{N/2-1}x[2r+1]W_{N/2}^{rk}\\ &=A(k)+W_N^kB(k) \end{align} \]
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其中
- \[A[k]=\sum_{r=0}^{N/2-1}x[2r]W_{N/2}^{rk}\\ B[k]=\sum_{r=0}^{N/2-1}x[2r+1]W_{N/2}^{rk} \]
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对于\(A[k],B[k]\)都是在\(\frac N 2\)处的DFT,\(X[k]\) 为N处的DFT，可以继续对A、B分治
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示意图:
