基础知识
组合概念
一般地，从\(n\)个不同元素中取出\(m(m≤ n)\)个元素并成一组，叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的一个组合.
解释
(1) 组合的举例：从高二(1)班\(50\)个学生中选\(5\)个学生组个篮球队；从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动.
(2) 排列与组合的区别
排列是讲“顺序”，而组合不讲“顺序”，
比如 ① 一个班有\(50\)个学生，选两个班长有多少种选法？
② 一个班有\(50\)个学生，选正副班长各\(1\)人有多少种选法？
①是组合问题，②是排列问题，“选正副班长”就意味着：选出的班长还要讲“顺序”.
又比如 ① 从\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)这\(5\)个数中选\(2\)个数字作加法，得数有多少种结果？
② 从\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)这\(5\)个数中选\(2\)个数字作减法，得数有多少种结果？
①是组合问题，②是排列问题，“两个数字作减法”就意味着：谁是减数谁是被减数，结果不一样，即讲究“顺序”.
组合数
从\(n\)个不同元素中取出\(m(m≤ n)\)个元素的所有组合的个数，叫做从\(n\)个不同元素中取出\(m\)个元素的组合数．用符号\(C_n^m\)表示．其中
\[C_n^m=\dfrac{A_n^m}{A_m^m}=\dfrac{(n-1)(n-2) \cdots(n-m+1)}{m !}=\dfrac{n !}{m !(n-m) !}(n ，m∈N^* ，且 m≤ n) \]规定\(C_n^0=1\).
解释
① 从\(n\)个元素中取出\(m\)个元素的排列(排列数\(A_n^m\))
可以理解为分为两步：
第一步 从\(n\)个元素中取出\(m\)个元素组合，得到组合数\(C_n^m\)；
第二步 再对\(m\)个元素进行排列，得到排列数\(A_m^m\)，根据分步乘法计数原理得到 \(A_n^m=C_n^m A_m^m \Rightarrow C_n^m=\dfrac{A_n^m}{A_m^m}\)；
② \(C_n^m=\dfrac{(n-1)(n-2) \cdots(n-m+1)}{m!}\)
这组合公式的结构相当于“在数字\(n\)到\(1\)从大到小，选\(m\)个大数连乘除以\(m\)个小数连乘”，比如 \(C_5^3=\dfrac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1}=10\)(从\(5\)，\(4\)，\(3\)，\(2\)，\(1\)中“\(3\)个大数连乘\(5×4×3\)”除以“\(3\)个小数连乘\(3×2×1\)”)，
而 \(C_7^2=\dfrac{7 \times 6}{2 \times 1}=21\)，\(C_4^2=\dfrac{4 \times 3}{2 \times 1}=12\).
组合数的性质
① \(C_n^m=C_n^{n-m}\)
(比如 \(C_{10}^8=C_{10}^2\)，从\(10\)个抽出\(8\)个组合的组合数与从\(10\)个抽出\(2\)个组合的组合数相等)
② \(C_{n+1}^m=C_n^m+C_n^{m-1}\)
(从\(n+1\)个中抽出\(m\)个\(C_{n+1}^m=\)抽不到元素\(A\)的组合数\(C_n^m+\)抽到元素\(A\)的组合数\(C_n^{m-1}\))
③ \(r C_n^r=n C_{n-1}^{r-1}\)
( \(r C_n^r=r \cdot \dfrac{n !}{r !(n-r) !}=\dfrac{n !}{(r-1) !(n-r) !}\)，\(n C_{n-1}^{r-1}=n \cdot \dfrac{(n-1) !}{(r-1) !(n-r) !}=\dfrac{n !}{(r-1) !(n-r) !}\))
PS 若能理解每个公式是怎么推导的，有助于灵活运用它们！
基本方法
【题型1】 组合数
【典题1】 下列式子错误的是( )
A． \(C_7^2=C_7^5\) \(\qquad \qquad\) B． \(C_5^3=C_4^2+C_4^3\)\(\qquad \qquad\)C． \(A_5^3=C_5^3 A_3^3\) \(\qquad \qquad\)D． \(A_5^4=4 A_6^3\)
解析 直接利用组合数的性质即可判断\(A\)，\(B\)是正确的，
由组合数公式\(C_5^3=\dfrac{A_5^3}{A_3^3}\)可得\(C\)正确，
\(A_5^4=5 \times 4 \times 3 \times 2=120\)，\(4 A_6^3=4 \times 6 \times 5 \times 4=480\)，故\(D\)错误，
故选：\(D\)．
点拨 \(C_n^m=\dfrac{A_n^m}{A_m^m}=\dfrac{(n-1)(n-2) \cdots(n-m+1)}{m !}=\dfrac{n !}{m !(n-m) !}\).
【典题2】若\(3 C_{2 n}^3=5 A_n^3\)，则整数\(n=\)\(\underline{\quad \quad}\) ．
解析 因为\(3 C_{2 n}^3=5 A_n^3\)，所以\(\left\{\begin{array}{l}
n \geqslant 3 \\
2 n \geqslant 3
\end{array}\right.\) ，
所以\(3 \cdot \dfrac{2 n \cdot(2 n-1) \cdot(2 n-2)}{3 \times 2 \times 1}=5 \cdot n \cdot(n-1) \cdot(n-2)\)，
解得\(n=8\)或\(n=0\)(舍去)，\(n=1\)(舍去)，
故\(n=8\)．
点拨 注意\(C_n^m\)中\(m\)，\(n \in N^*\)，且\(n \geq m\).
【巩固练习】
1.\(C_6^3+C_6^2\)等于( )
A. \(A_6^4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(A_7^5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(C_7^2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(C_7^3\)
2.若\(3 A_n^3-6 A_n^2=4 C_{n+1}^2\)，则\(n=\)( )
A．\(5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(8\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(7\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(6\)
参考答案
- 答案 \(D\)
解析 \(C_6^3+C_6^2=20+15=35\)，\(C_7^3=35\). - 答案 \(A\)
解析 \(\because 3 A_n^3-6 A_n^2=4 C_{n+1}^2\)，
\(\therefore 3 n(n-1)(n-2)-6 n(n-1)=4 \times \dfrac{(n+1) n}{2}\)，
即\(3(n-1)(n-2)-6(n-1)=2n+2\)，
求得\(n=5\)，或 \(n=\dfrac{2}{3}\)(舍去)，
故选：\(A\)．
【题型2】组合问题
【典题1】 现有\(10\)名教师，其中男教师\(6\)名，女教师\(4\)名．
(1)现要从中选\(2\)名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)选出\(2\)名男教师或\(2\)名女教师去外地学习的选法有多少种？
(3)现要从中选出男、女老师各\(2\)名去参加会议，有多少种不同的选法？
解析 (1)从\(10\)名教师中选\(2\)名去参加会议的选法种数，就是从\(10\)个不同元素中取出\(2\)个元素的组合数，即\(C_{10}^2=\dfrac{10 \times 9}{2 \times 1}=45\)．
(2)可把问题分两类：第\(1\)类，选出的\(2\)名是男教师有\(C_6^2\)种方法；第\(2\)类，选出的\(2\)名是女教师有\(C_4^2\)种方法，即\(C_6^2+C_4^2=21\)种．
(3)从\(6\)名男教师中选\(2\)名的选法有\(C_6^2\)种，从\(4\)名女教师中选2名的选法有\(C_4^2\)种，根据分步乘法计数原理，共有选法\(C_6^2 \times C_4^2=\dfrac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1}=90\)种．
【典题2】\(6\)本不同的书，按下列要求列式并求出有多少种不同的选法．
(1)分为三份，一份\(1\)本，一份\(2\)本，一份\(3\)本．
(2)分给甲、乙、丙三人，一人\(1\)本，一人\(2\)本，一人\(3\)本．
(3)分为三份，每份\(2\)本．
(4)分给甲、乙、丙三人，每人\(2\)本．
(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少\(1\)本．
解析 (1)根据题意，分\(3\)步分析：先选\(1\)本有\(C_6^1\)种选法；再从余下的\(5\)本中选\(2\)本有\(C_5^2\)种选法；最后余下\(3\)本全选有\(C_3^3\)种方法，
故共有\(C_6^1 C_5^2 C_3^3=60\)种；
(2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题分组的基础上将\(3\)组全排列，共有\(C_6^1 C_5^2 C_3^3 A_3^3=360\)种；
(3)有序均匀分组，\(6\)本不同的书平均分成三堆，有 \(\dfrac{C_6^2 C_4^2 C_2^2}{A_3^3}=15\)种方法，
(4)由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(3)题分组的基础上将\(3\)组全排列，还应考虑再分配，共有\(15A_3^3=90\)种，
(5)根据题意，分\(3\)种情况讨论：
①一人\(4\)本，其他\(2\)人各\(1\)本， \(C_6^1 \times C_5^1 \times C_3^1=90\)种分法，
②一人\(1\)本，一人\(2\)本，一人\(3\)本， \(C_6^1 \times C_5^2 \times A_3^3=360\)种分法，
③每人\(2\)本， \(C_6^2 \times C_4^2 \times C_2^2=90\)种分法，
故共有\(90+360+90=540\)种．
【巩固练习】
1.从\(6\)名女生、\(4\)名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取\(5\)名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为( )
A．\(C_6^3 \cdot C_4^2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(C_6^2 \cdot C_4^3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(C_{10}^5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(A_6^3 \cdot A_4^2\)
2.某龙舟队有\(9\)名队员，其中\(3\)人只会划左舷，\(4\)人只会划右舷，\(2\)人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的\(3\)人、右舷的\(3\)人共\(6\)人去参加比赛，且既会划左舷又会划右舷的最多选\(1\)人，则不同的选法有( )
A．\(4\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(36\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(40\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(92\)种
3.(多选)在\(100\)件产品中，有98件合格品，\(2\)件不合格品．从这\(100\)件产品中任意抽出\(3\)件，则下列结论正确的有( )
A．抽出的\(3\)件产品中恰好有\(1\)件是不合格品的抽法有\(C_2^1 C_{98}^2\)种
B．抽出的\(3\)件产品中恰好有\(1\)件是不合格品的抽法有\(C_2^1 C_{99}^2\)种
C．抽出的\(3\)件中至少有\(1\)件是不合格品的抽法有\(C_2^1 C_{98}^2+C_2^2 C_{98}^1\)种
D．抽出的\(3\)件中至少有\(1\)件是不合格品的抽法有\(C_{100}^3-C_{98}^3\)种
4.马路上有编号为\(1\)，\(2\)，\(3\)，…，\(9\)九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有\(\underline{\quad \quad}\) 种？
5.某中学从\(4\)名男生和\(3\)名女生中推荐\(4\)人参加社会公益活动，若选出的\(4\)人中既有男生又有女生，则不同的选法共有\(\underline{\quad \quad}\)种.
6.从\(4\)台甲型和\(5\)台乙型电视机中任取\(3\)台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有\(\underline{\quad \quad}\) .
参考答案
- 答案 \(A\)
解析 由已知女生抽取\(3\)人，男生抽取\(2\)人，则抽取方法有\(C_6^3 \cdot C_4^2\)种． - 答案 \(C\)
解析 第一类：无既会划左舷又会划右舷的有\(C_3^3 \cdot C_4^3=4\)种选法．
第二类：只有一名既会划左舷又会划右舷的有 \(C_2^1\left(C_3^2 C_4^3+C_3^3 C_4^2\right)=2(3 \times 4+6)=36\)种选法．
\(\therefore\)共有\(40\)种选法． - 答案 \(ACD\)
解析 根据题意，若抽出的\(3\)件产品中恰好有\(1\)件是不合格品，即抽出的\(3\)件产品中有\(2\)件合格品，\(1\)件不合格品，
则合格品的取法有\(C_{98}^2\)种，不合格品的取法有\(C_2^1\)种，
则恰好有\(1\)件是不合格品的取法有\(C_2^1 C_{98}^2\)种取法；则\(A\)正确，\(B\)错误；
若抽出的\(3\)件中至少有\(1\)件是不合格品，有\(2\)种情况，
①抽出的\(3\)件产品中有\(2\)件合格品，\(1\)件不合格品，有\(C_2^1 C_{98}^2\)种取法，
②抽出的\(3\)件产品中有\(1\)件合格品，\(2\)件不合格品，有\(C_2^1 C_{98}^1\)种取法，
则抽出的\(3\)件中至少有\(1\)件是不合格品的抽法有\(C_2^1 C_{98}^2+C_2^2 C_{98}^1\)种，\(C\)正确；
也可以使用间接法：在\(100\)件产品中任选\(3\)件，有\(C_{100}^3\)种取法，
其中全部为合格品的取法有\(C_{98}^3\)种，
则抽出的\(3\)件中至少有\(1\)件是不合格品的抽法有\(C_{100}^3-C_{98}^3\)种取法，\(D\)正确；
故选：\(ACD\)． - 答案 \(10\)
解析 把此问题当作一个排对模型，在\(6\)盏亮灯的\(5\)个空隙中插入\(3\)盏不亮的灯\(C_5^3\)种方法，所以满足条件的关灯方案有\(10\)种. - 答案 \(34\)
解析 先从\(7\)名学生中选\(4\)名，有\(C_7^4\)种，再减去不符合要求的情况：从\(4\)名男生中选\(4\)名，故符合要求的不同的选法共有\(C_7^4-C_4^4=34\)种． - 答案 \(70\)
解析 解析\(1\)：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有\(C_9^3-C_4^3-C_5^3=70\)种.
解析\(2\)：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型\(1\)台乙型\(2\)台；甲型\(2\)台乙型\(1\)台；故不同的取法有\(C_5^2 C_4^1+C_5^1 C_4^2=70\)台.
分层练习
【A组---基础题】
1.若\(A_n^3=12 C_n^2\)，则\(n\)等于( )
A．\(8\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(5\)或\(6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(3\)或\(4\)
2.若从\(1\)，\(2\)，\(3\)，…，\(9\)这\(9\)个整数中同时取\(4\)个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A．\(60\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(63\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(65\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(66\)种
3.某校开设\(A\)类选修课\(3\)门，\(B\)类选修课\(4\)门，一位同学从中共选\(3\)门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
A．\(30\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(35\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(42\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(48\)种
4.某班班会准备从甲、乙等\(7\)名学生中选派\(4\)名学生发言，要求甲、乙两名同学 至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )
A．\(360\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(520\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(600\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(720\)
5.甲、乙两人从\(4\)门课程中各选修\(2\)门，则甲、乙所选的课程中至少有\(1\)门不相同的选法共有( )
A．\(6\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(12\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(30\)种 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(36\)种
6.(多选)\(2\)名女生、\(4\)名男生排成一排，则\(2\)名女生不相邻的排法有( )种．
A．\(C_6^2 A_4^4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(A_4^4 A_5^2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(A_6^6-A_5^5 A_2^2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(A_6^2 A_4^4\)
7.\(6\)条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为\(1\)，\(1\)，\(2\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，现从中任取三条网线且使三条网线通过最大信息量的和大于等于\(6\)的方法共有\(\underline{\quad \quad}\) 种．
8.一个口袋中装有大小相同的\(6\)个白球和\(4\)个黑球，从中取\(2\)个球，则这两个球同色的不同取法有\(\underline{\quad \quad}\)种．
9.若已知集合\(P=\{1，2，3，4，5，6\}\)，则集合\(P\)的子集中含有\(3\)个元素的子集数为\(\underline{\quad \quad}\)．
10.有\(8\)名男生和\(5\)名女生，从中任选\(6\)人．
(1)有多少种不同的选法？
(2)其中有\(3\)名女生，有多少种不同的选法？
(3)其中至多有\(3\)名女生，有多少种不同的选法？
(4)其中有\(2\)名女生，\(4\)名男生，分别负责\(6\)种不同的工作，共有多少种不同的分工方法？
(5)其中既有男生又有女生，有多少种不同的选法？
参考答案
- 答案 \(A\)
解析由\(A_n^3=12 C_n^2\)，可得：\(n(n-1)(n-2)=12 \times \dfrac{n(n-1)}{2}\)， \(n \geqslant 3\)，
化为：\(n-2=6\)，解得\(n=8\)．故选：\(A\)． - 答案 \(D\)
解析 和为偶数共有\(3\)种情况，取\(4\)个数均为偶数的取法有\(C_4^4=1\)种，取\(2\)奇数\(2\)偶数的取法有\(C_4^2\cdot C_5^2=60\)种，取\(4\)个数均为奇数的取法有\(C_5^4=5\)种，故不同的取法共有\(1+60+5=66\)种． - 答案 \(A\)
解析 分两类，\(A\)类选修课选\(1\)门，\(B\)类选修课选\(2\)门，或者\(A\)类选修课选\(2\)门，\(B\)类选修课选\(1\)门，因此，共有\(C_3^1 \cdot C_4^2+C_3^2 \cdot C_4^1=30\)种选法． - 答案 \(C\)
解析分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有\(C_2^1 C_5^3 A_4^4=2×10×24=480\)种选法．
第二类，甲、乙都参加时，则有\(C_5^2\left(A_4^4-A_2^2 A_3^3\right)=10(24-12)=120\)种选法．
\(\therefore\)共有\(480+120=600\)种选法． - 答案 \(C\)
解析 甲乙从\(4\)门课程中各选修\(2\)门共有\(C_4^2 C_4^2=36\)种选法，用对立事件做，其中甲乙所选课程相同时共有\(C_4^2=6\)种选法，所以甲、乙所选的课程中至少有\(1\)门不相同的选法共有\(36-6=30\)种．故\(C\)正确． - 答案 \(BC\)
解析 \(2\)位女生不相邻的排法有\(A_4^4 A_5^2\)或者\(A_6^6-A_5^5 A_2^2\)种，所以选项\(B\)，\(C\)正确，故选：\(BC\)． - 答案 \(15\)
解析 当选用信息量为\(4\)的网线时有\(C_5^2\)种；当选用信息量为\(3\)的网线时有\(C_2^1 C_2^1+C_2^2\)种，共有\(C_5^2+C_2^1 C_2^1+C_2^2=15\)种． - 答案 \(21\)
解析 分两类：一类是\(2\)个白球有\(C_6^2=15\)种取法，另一类是\(2\)个黑球有\(C_4^2=6\)种取法，所以共有\(15+6=21\)种取法． - 答案 \(20\)
解析 由于集合中的元素具有无序性，因此含\(3\)个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有\(C_6^3=20\)种． - 答案 (1) \(1716\)；(2) \(560\)；(3) \(1568\)；(4) \(504000\)；(5) \(1688\) .
解析 (1)是无限制条件的组合问题．适合题意的选法有\(C_{13}^6=1716\)种．
(2)是有限制条件的组合问题．
第\(1\)步，选出女生，有\(C_5^3\)种；第\(2\)步，选出男生，有\(C_8^3\)种．
由分步乘法计数原理，适合题意的选法有 \(C_5^3 \cdot C_8^3=560\)种．
(3)是有限制条件的组合问题．
至多有\(3\)名女生包括：没有女生，\(1\)名女生，\(2\)名女生，\(3\)名女生四类情况．
第\(1\)类没有女生，有\(C_8^6\)种；第\(2\)类\(1\)名女生，有 \(C_8^5 \cdot C_5^1\)种；
第\(3\)类\(2\)名女生，有\(C_8^4 \cdot C_5^2\)种；第\(4\)类\(3\)名女生，有 \(C_8^3 \cdot C_5^3\)种．
由分类加法计数原理，适合题意的选法共有 \(C_8^6+C_8^5 \cdot C_5^1+C_8^4 \cdot C_5^2+C_8^3 \cdot C_5^3=1568\)种．
(4)是有限制条件的组合与排列问题．
第\(1\)步，选出适合题意的\(6\)名学生，有\(C_5^2 \cdot C_8^4\)种；
第\(2\)步，给这\(6\)名学生安排\(6\)种不同的工作，有\(A_6^6\)种．
由分步乘法计数原理，适合题意的分工方法共有 \(C_5^2 \cdot C_8^4 \cdot A_6^6=504000\)种．
(5)是有限制条件的组合问题．
用间接法，排除掉全是男生的情况和全是女生的情况即是符合题意的选法．而由题意知不可能\(6\)人全是女生，所以只需排除全是男生的情况 ，\(C_{13}^6-C_8^6=1716-28=1688\)种．
【B组---提高题】
1.证明 \(C_n^0+C_{n+1}^1+C_{n+2}^2+\cdots+C_{n+m-1}^{m-1}=C_{n+m}^{m-1}\)．
2.从\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)，\(7\)，\(8\)，\(9\)这十个数字中取出三个数，使其和为不小于\(10\)的偶数，不同的取法有多少种？
3.\(25\)人排成\(5×5\)方阵，现从中选\(3\)人，要求\(3\)人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种？
参考答案
-
证明 左边 \(=\left(C_{n+1}^0+C_{n+1}^1\right)+C_{n+2}^2+C_{n+3}^3+\cdots+C_{n+m-1}^{m-1}\)
\(=\left(C_{n+2}^1+C_{n+2}^2\right)+C_{n+3}^3+\cdots+C_{n+m-1}^{m-1}\)
\(=\left(C_{n+3}^2+C_{n+3}^3\right)+\cdots+C_{n+m-1}^{m-1}\)
\(=C_{n+4}^3+C_{n+4}^4+\cdots+C_{n+m-1}^{m-1}\)
\(=C_{n+m-1}^{m-2}+C_{n+m-1}^{m-1}=C_{n+m}^{m-1}=\)右边，
\(\therefore\)原式成立． -
答案 \(31\)
解析 这问题中如果直接求不小于\(10\)的偶数很困难，可用总体淘汰法.这十个数字中有\(5\)个偶数\(5\)个奇数，所取的三个数含有\(3\)个偶数的取法有\(C_5^3\)，只含有\(1\)个偶数的取法有\(C_5^1 C_5^2\)，和为偶数的取法共有 \(C_5^1 C_5^2+C_5^3\).再淘汰和小于\(10\)的偶数共\(9\)种，符合条件的取法共有 \(C_5^1 C_5^2+C_5^3-9=50-10-9=31\). -
答案 \(600\)
解析 将这个问题退化成\(9\)人排成\(3×3\)方阵，现从中选\(3\)人，要求\(3\)人不在同一行也不在同一列，有多少选法.这样每行必有\(1\)人从其中的一行中选取\(1\)人后，把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从\(3×3\)方队中选\(3\)人的方法有\(C_3^1 C_2^1 C_1^1\)种.再从\(5×5\)方阵选出\(3×3\)方阵便可解决问题.从\(5×5\)方队中选取\(3\)行\(3\)列有\(C_5^3 C_5^3\)选法，所以从\(5×5\)方阵选不在同一行也不在同一列的\(3\)人有\(C_5^3 C_5^3 C_3^1 C_2^1 C_1^1=10×10×3×2×1=600\)选法.
