数学杂谈 #26

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洗澡洗漱的时候突然想到的，感觉比较好玩，记录一下。

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在一个域上，考虑 \(n\) 阶非奇异矩阵 \(A\) 和一个向量 \(\bold x\)。令 \(\bold y=A\bold x\)。

我们知道 \(\bold x=A^{-1}\bold y\)。但同时 Cramer's Rule 给了我们另外一个路径：\(\bold x_j=\frac{D_j}{D}\)，其中 \(D=|A|\)，而 \(D_j\) 为将 \(A\) 中第 \(j\) 列用 \(\bold y\) 替换后的行列式的值。

考察 \(D_j\) 的实质。设 \(M_{ij}\) 为 \(a_{ij}\) 的余子式，那么对于第 \(j\) 行展开：

\[\bold x_j=D^{-1}\sum_{k=1}^n(-1)^{k+j}\bold y_kM_{kj} \]

同时，考察逆矩阵的运算：

\[\bold x_j=\sum_{k=1}^nA^{-1}_{jk}\bold y_k \]

于是：

\[\sum_{k=1}^nA^{-1}_{jk}\bold y_k=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+j}M_{kj}}{D}\bold y_k \]

由 \(\bold y\) 的任意性，可知系数必然对应相等。于是，我们得到了 \(A^{-1}\) 的一行的值。更进一步地：

\[A^{-1}_{jk}=\frac{(-1)^{j+k}M_{kj}}{D} \]

把 \(D=|A|\) 移到左边，我们得到了 \(A^*_{jk}=|A|A^{-1}_{jk}=(-1)^{j+k}M_{kj}\)。

没有了。

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不知道能不能等到 Tiw_Air_OAO 现身。（逃

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