普朗克定律不同表达形式之间的转换

标签：frac 定律 cdot 普朗克 tilde 表达形式 lambda

分谱辐射亮度是辐射亮度对波长的一阶导数，普朗克定律描述了分谱辐射亮度与温度和发射电磁波波长之间的关系。由于波长也可以由波数、频率来间接表示，我们见到的普朗克定律可以有如下三种不同的表达形式。下面的推导公式常用于不同单位的分谱辐射亮度之间的转换。

一、以波长为参数的普朗克定律

\(L_{\lambda}(\lambda, T)\) 的单位是\(W\cdot Sr^{-1} \cdot m^{-3}\)，表达式为：

\[L_{\lambda}(\lambda, T)=\frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k T}}-1} \]

其中，波长 \(\lambda\) 是单位为 \(m\) 的波长自变量，\(T\) 是单位为 \(K\) 的另一个温度自变量，其余常数如下：

\(h\) 为普朗克常数 \(6.62607015 \times 10^{-34} \quad J\cdot s\);

\(c\) 为光速 \(3\times 10^{8} \quad m\cdot s^{-1}\);

\(k\) 为玻尔兹曼常数 \(1.38\times 10^{-23} \quad J \cdot K^{-1}\)；

二、以波数为参数的普朗克定律

\(L_{\tilde{v}}(\tilde{v}, T)\) 的单位是 \(W\cdot Sr^{-1}\cdot m^{-1}\)，波数 \(\tilde{v}\) 是波长 \(\lambda\) 的倒数，单位为 \(m^{-1}\)（其实\(cm^{-1}\) 更常见一些，不过换算也很简单）。下面来推导以波数为参数的普朗克定律：

\[dL=L_{\lambda}(\lambda, T)\cdot d\lambda=-L_{\tilde{v}}(\tilde{v}, T)\cdot d \tilde{v} \]

由于 \(\tilde{v}=\frac{1}{\lambda}\)，所以 \(d\tilde{v}=-\frac{1}{\lambda^2}d\lambda\)，

\[L_{\tilde{v}}(\tilde{v}, T)=\lambda^{2}\cdot L_{\lambda}(\lambda, T)=\frac{2hc^{2}\tilde{v}^3}{e^{\frac{hc\tilde{v}}{kT}}-1} \]

三、以频率为参数的普朗克定律

推导过程与波数类似，根据 \(v=\frac{c}{\lambda}\)可以得到 \(L_{v}(v, T)\) （单位是\(W\cdot Sr^{-1} \cdot m^{-2} \cdot Hz^{-1}\)）：

\[L_v(v,T)=\frac{2hv^3}{c^2}\frac{1}{e^{\frac{hv}{kT}}-1} \]

总结：

\[L_{\lambda}(\lambda, T)=\frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k T}}-1} \]

\[L_{\tilde{v}}(\tilde{v}, T)=\frac{2hc^{2}\tilde{v}^3}{e^{\frac{hc\tilde{v}}{kT}}-1} \]

\[L_v(v,T)=\frac{2hv^3}{c^2}\frac{1}{e^{\frac{hv}{kT}}-1} \]

参考资料：Planck's law - Wikipedia

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