例 \(1\)：若对 \(\forall x > 0\)，恒有 \(a(e^{ax}+1) \ge 2 (x + \frac{1}{x}) \ln x\)，则实数 \(a\) 的最小值为：\(\frac{2}{e}\)。
\((e^{ax} + 1) ax \ge (x^2 +1) \ln x^2 \Rightarrow(e^{ax} + 1) \ln e^{ax} \ge (x^2 +1) \ln x^2\)。
令 \(f(x) = (x + 1) \ln x\)，\(f'(x) = \ln x + \frac{x + 1}{x}\)。令 \(g(x) = \ln x + \frac{x + 1}{x}\)，\(g'(x) = \frac{x-1}{x^2}\)。
\(\therefore g'(x)>0 \Leftrightarrow x>1, g'(x) < 0 \Leftrightarrow 0<x<1\) 故 \(g(x)\) 在 \((0, 1)\) 上 \(\downarrow\)，在 \((1, +\infty)\) 上 \(\uparrow\)。
\(\therefore g(x)_{\min} = g(1) = 2\) \(\therefore f’(x) \ge 2\) 故 \(f(x)\) 在 \((0, +\infty)\) 上 \(\uparrow\)。
\(\therefore e^{ax} \ge x^2 \Rightarrow a \ge \frac{2 \ln x}{x}\)
令 \(h(x) = \frac{2 \ln x}{x}\)，\(h'(x) = \frac{2 - 2 \ln x}{x^2}\)。
\(\therefore h'(x)>0 \Leftrightarrow 0<x<e, h'(x) < 0 \Leftrightarrow x > e\) 故 \(h(x)\) 在 \((0, e)\) 上 \(\uparrow\)，在 \((e, +\infty)\) 上 \(\downarrow\)。
\(\therefore h(x)_{\max}=h(e)=\frac{2}{e}\) \(\therefore a_\min=\frac{2}{e}\)
例 \(2\)：已知函数 \(f(x)=e^x-a\ln(ax-a)+a(a>0)\)，若关于 \(x\) 的不等式 \(f(x)>0\) 恒成立，则实数 \(a\) 的取值范围为：\(a<e^2\)。
\[\begin{align} &e^{x - \ln a} > \ln(ax-a) - 1 \\ \Rightarrow &e^{x - \ln a} - \ln a > \ln(x - 1) - 1 \\ \Rightarrow &e^{x - \ln a} + (x - \ln a) > (x - 1) + \ln (x - 1) \\ \Rightarrow &e^{x - \ln a} + (x - \ln a) > e^{\ln(x - 1)} + \ln (x - 1)\\ \end{align} \]令 \(g(x) = e^x + x\)，\(g(x) \uparrow\)。
\(\therefore x - \ln a > \ln (x - 1) \Rightarrow -\ln a > \ln (x - 1) - x\)。
\(\because \ln x \le x - 1\)（当且仅当 \(x=1\) 时取等）\(\therefore \ln (x - 1) \le x - 2\)（当且仅当 \(x = 2\) 时取等）
\(\therefore \ln (x - 1) - x \le - 2\)（当且仅当 \(x = 2\) 时取等）
令 \(x = 2\)，\(-\ln a > -2 \Rightarrow a \in (0, e^2)\)。
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