数学建模—层次分析法
相关概念
层次分析法主要解决评价类问题，比如，选择那种方案更好，谁更优秀
评价类问题可用打分解决，将选择条件分成不同的指标，权值和为一
同颜色的单元格合为1，表示某一因素所占的权重
层次分析法步骤
- 1.分析系统中各因素的关系，建立层次结构
使用层次分析法一定要放上面的这个图到论文中哦
- 2.构造判断矩阵
目标层—准则层
准则层—方案层
其中的数据自己填即可，但不要说是怎么来的
- 3.由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并要通过一致性检验
建议用三种方法来计算(在文章中写为保证结果的稳健性，使用三种方法分别求权值，再根
- 4.计算各层元素对系统目标的合成权重，并排序
具体的步骤及细节
如何确定评价类问题
-
出现确定评价指标，形成评价体系等字样
-
解决评价类问题，首先想三点
评价的目标是什么
为了达到目标有哪几种方案
评价的准则或指标(背景材料，常识和网上搜索)：去知网找+自己想...
如何确定权值
建立矩阵
使用判断矩阵(正互反矩阵)：对角线全为一的倒数对称矩阵，每行和每列均为指标或是方案
其中一致性矩阵最为特殊，其特点：各行(各列之间成倍数关系)
一致性检验
在使用判断矩阵求权值之前一定要进行一致性检验
权值的计算
-
算术平均法
将判断矩阵按列归一化，按行求和，再求平均
-
几何平均法
将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量，将新的向量的每个分量开n次方，对该列向量进行归一化即可得到权重向量
-
特征值法(使用最多)
求出最大特征值以及对应的特征向量，对其特征向量做归一化处理
一致矩阵计算权重
随便选择一列，来计算所占的比值(一定要归一化处理)
判断矩阵算权重
所有列都像一致矩阵进行计算，再平均
层次分析法的局限性
- 评价决策太多
- 决策层的数据已知
层次分析法的拓展
若方与准则的对应不是一一对应，只需将不对应的方案的权值设为0
Matlab代码
此代码来自清风，感谢
%% 先对判断矩阵进行一致性检验，然后再计算权重，因为只有判断矩阵通过了一致性检验，其权重才是有意义的。
%% 只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验。
%% 输入判断矩阵
clear;clc
disp('请输入判断矩阵A： ')
% A = input('判断矩阵A=')
A =[1 1 4 1/3 3;
1 1 4 1/3 3;
1/4 1/4 1 1/3 1/2;
3 3 3 1 3;
1/3 1/3 2 1/3 1]
% matlab矩阵有两种写法，可以直接写到一行:
% [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]
% 也可以写成多行:
% 两行之间以分号结尾（最后一行的分号可加可不加），同行元素之间以空格（或者逗号）分开。
%% 方法1：算术平均法求权重
% 第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
Sum_A = sum(A)
[n,n] = size(A) % 也可以写成n = size(A,1)
% 因为我们的判断矩阵A是一个方阵，所以这里的r和c相同，我们可以就用同一个字母n表示
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1) %repeat matrix的缩写
% 另外一种替代的方法如下：
SUM_A = [];
for i = 1:n %循环哦，这一行后面不能加冒号（和Python不同），这里表示循环n次
SUM_A = [SUM_A; Sum_A]
end
clc;A
SUM_A
Stand_A = A ./ SUM_A
% 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可
% 第二步：将归一化的各列相加(按行求和)
sum(Stand_A,2)
% 第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2) / n)
% 首先对标准化后的矩阵按照行求和，得到一个列向量
% 然后再将这个列向量的每个元素同时除以n即可（注意这里也可以用./哦）
%% 方法2：几何平均法求权重
% 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
clc;A
Prduct_A = prod(A,2)
% prod函数和sum函数类似，一个用于乘，一个用于加 dim = 2 维度是行
% 第二步：将新的向量的每个分量开n次方
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)
% 这里对每个元素进行乘方操作，因此要加.号哦。 ^符号表示乘方哦 这里是开n次方，所以我们等价求1/n次方
% 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
% 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
%% 方法3：特征值法求权重
% 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
clc
[V,D] = eig(A) %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵（除了对角线元素外，其余位置元素全为0）
Max_eig = max(max(D)) %也可以写成max(D(:))哦~
% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？ 需要用到find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
% 那么问题来了，我们要得到最大特征值的位置，就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中，不等于最大特征值的位置全变为0
% 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算
D == Max_eig
[r,c] = find(D == Max_eig , 1)
% 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，记录它的行和列。
% 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
V(:,c)% 取出特征向量(列向量)
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
% 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量，然后再进行标准化。
%% 计算一致性比例CR
clc
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
disp('因为CR < 0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end