AcWing 9. 分组背包问题

有 N 组物品和一个容量是 V的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 N组数据：

• 每组数据第一行有一个整数 Si，表示第 i个物品组的物品数量；

• 每组数据接下来有 Si行，每行有两个整数 vij,wij，用空格隔开，分别表示第 i 个物品组的第 j个物品的体积和价值；

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤100

0<Si≤100
0<vij,wij≤100

输入样例

3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5

输出样例：

8

状态分析：

代码实现：

1）空间未优化

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=105;
int dp[N][N];
struct node{
    int w[N];
    int v[N];
    int cnt;
}a[N];
int main(){
    int n,V;
    cin>>n>>V;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int k;
        cin>>k;
        a[i].cnt=k;
        for(int j=1;j<=k;j++)cin>>a[i].w[j]>>a[i].v[j];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=V;j++){
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j]);
            for(int k=1;k<=a[i].cnt;k++){
                if(a[i].w[k]<=j)dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-a[i].w[k]]+a[i].v[k]);
            }
        }
    }
    cout<<dp[n][V]<<endl;
    return 0;
}

2）空间优化版本

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=105;
int dp[N];
struct node{
    int w[N];
    int v[N];
    int cnt;
}a[N];
int main(){
    int n,V;
    cin>>n>>V;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int k;
        cin>>k;
        a[i].cnt=k;
        for(int j=1;j<=k;j++)cin>>a[i].w[j]>>a[i].v[j];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=V;j>=1;j--){
            for(int k=1;k<=a[i].cnt;k++){
                if(a[i].w[k]<=j)dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i].w[k]]+a[i].v[k]);
            }
        }
    }
    cout<<dp[V]<<endl;
    return 0;
}